Kalkulus Contoh

$\int \frac{2 e^{x} - 2 e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Langkah 1

Faktorkan $2$ dari $2 e^{x} - 2 e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $2$ dari $2 e^{x}$ .

$\int \frac{2 (e^{x}) - 2 e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Langkah 1.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 e^{- x}$ .

$\int \frac{2 (e^{x}) + 2 (- e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Langkah 1.3

Faktorkan $2$ dari $2 (e^{x}) + 2 (- e^{- x})$ .

$\int \frac{2 (e^{x} - e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Langkah 2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \frac{e^{x} - e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Langkah 3

Biarkan $u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . Kemudian $d u_{2} = (e^{x} - e^{- x}) d x$ sehingga $\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $e^{x} + e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Langkah 3.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} + e^{- x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 3.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 3.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.4.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.4.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $- x$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 3.1.4.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$e^{x} + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 3.1.4.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $- x$ .

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 3.1.4.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.1.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Langkah 3.1.4.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

Langkah 3.1.4.5

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

Langkah 3.1.4.6

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$e^{x} - e^{- x}$

Langkah 3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 4

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pindahkan ${u_{2}}^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$2 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Langkah 4.2

Kalikan eksponen dalam ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Langkah 4.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{- 2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali $2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ sebagai $2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ .

$2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 \frac{1}{u_{2}} + C$

Langkah 6.2.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{- 2}{u_{2}} + C$

Langkah 6.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{u_{2}} + C$

Langkah 7

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $e^{x} + e^{- x}$ .

$- \frac{2}{e^{x} + e^{- x}} + C$