Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{k} (2 k x - x^{2}) d x = 18$

Langkah 1

Hilangkan tanda kurung.

$\int_{0}^{k} 2 k x - x^{2} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{k} 2 k x d x + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

Langkah 3

Karena $2 k$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2 k$ keluar dari integral.

$2 k \int_{0}^{k} x d x + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 k \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{k} + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

Langkah 5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

Langkah 6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} - \int_{0}^{k} x^{2} d x$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{k})$

Langkah 8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{k})$

Langkah 8.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $k$ dan pada $0$ .

$2 k ((\frac{k^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{k})$

Langkah 8.2.2

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $k$ dan pada $0$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 8.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{0}{2}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 8.2.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 8.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 8.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 8.2.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{0}{1}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 8.2.3.2.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - 0) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 8.2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} + 0) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 8.2.3.4

Tambahkan $\frac{k^{2}}{2}$ dan $0$ .

$2 k \frac{k^{2}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 8.2.3.5

Gabungkan $2$ dan $\frac{k^{2}}{2}$ .

$k \frac{2 k^{2}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 8.2.3.6

Gabungkan $k$ dan $\frac{2 k^{2}}{2}$ .

$\frac{k (2 k^{2})}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 8.2.3.7

Naikkan $k$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (k^{1} k^{2})}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 8.2.3.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 k^{1 + 2}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 8.2.3.9

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 k^{3}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 8.2.3.10

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.10.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 k^{3}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 8.2.3.10.2

Bagilah $k^{3}$ dengan $1$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 8.2.3.11

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0}{3})$

Langkah 8.2.3.12

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.12.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Langkah 8.2.3.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.12.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Langkah 8.2.3.12.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Langkah 8.2.3.12.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0}{1})$

Langkah 8.2.3.12.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - 0)$

Langkah 8.2.3.13

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} + 0)$

Langkah 8.2.3.14

Tambahkan $\frac{k^{3}}{3}$ dan $0$ .

$k^{3} - \frac{k^{3}}{3}$

Langkah 8.2.3.15

Untuk menuliskan $k^{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$k^{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{k^{3}}{3}$

Langkah 8.2.3.16

Gabungkan $k^{3}$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{k^{3} \cdot 3}{3} - \frac{k^{3}}{3}$

Langkah 8.2.3.17

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{k^{3} \cdot 3 - k^{3}}{3}$

Langkah 8.2.3.18

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $k^{3}$ .

$\frac{3 \cdot k^{3} - k^{3}}{3}$

Langkah 8.2.3.19

Kurangi $k^{3}$ dengan $3 k^{3}$ .

$\frac{2 k^{3}}{3}$

Langkah 8.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{2}{3} k^{3}$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $k^{3}$ .

$\frac{2 k^{3}}{3}$