Kalkulus Contoh

$\int_{2}^{\infty} \frac{5}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

Langkah 1

Tulis integral sebagai limit ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} \frac{5}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

Langkah 2

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{2}^{t} \frac{1}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

Langkah 3

Biarkan $u_{1} = x + 2$ . Kemudian $d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u_{1} = x + 2$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Langkah 3.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 3.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 3.1.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 3.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 3.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{1} = x + 2$ .

$u_{lower} = 2 + 2$

Langkah 3.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$u_{lower} = 4$

Langkah 3.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{1} = x + 2$ .

$u_{upper} = t + 2$

Langkah 3.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = t + 2$

Langkah 3.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ , $d u_{1}$ , dan batas integral yang baru.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 2} \frac{1}{u_{1} \ln^{2} (u_{1})} d u_{1}$

Langkah 4

Biarkan $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Kemudian $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ sehingga $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Langkah 4.1.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Langkah 4.2

Substitusikan batas bawah untuk $u_{1}$ di $u_{2} = \ln (u_{1})$ .

$u_{lower} = \ln (4)$

Langkah 4.3

Substitusikan batas atas untuk $u_{1}$ di $u_{2} = \ln (u_{1})$ .

$u_{upper} = \ln (t + 2)$

Langkah 4.4

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = \ln (4)$

$u_{upper} = \ln (t + 2)$

Langkah 4.5

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 5

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan ${u_{2}}^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Langkah 5.2

Kalikan eksponen dalam ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Langkah 5.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{- 2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- {u_{2}}^{- 1}]_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)})$

Langkah 7

Evaluasi $- {u_{2}}^{- 1}$ pada $\ln (t + 2)$ dan pada $\ln (4)$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \ln^{- 1} (t + 2) + \ln^{- 1} (4))$

Langkah 8

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$5 lim_{t \to \infty} - \ln^{- 1} (t + 2) + \ln^{- 1} (4)$

Langkah 8.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$5 (- lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (t + 2) + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

Langkah 8.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{\ln (t + 2)} + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

Langkah 8.4

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{\ln (t + 2)}$ mendekati $0$ .

$5 (- 0 + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

Langkah 8.5

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Evaluasi limit dari $\ln^{- 1} (4)$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$5 (0 + \ln^{- 1} (4))$

Langkah 8.5.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.2.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (0 + \frac{1}{\ln (4)})$

Langkah 8.5.2.2

Tambahkan $0$ dan $\frac{1}{\ln (4)}$ .

$5 \frac{1}{\ln (4)}$

Langkah 8.5.2.3

Gabungkan $5$ dan $\frac{1}{\ln (4)}$ .

$\frac{5}{\ln (4)}$

Langkah 9

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{5}{\ln (4)}$

Bentuk Desimal:

$3.60673760 \dots$