Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 4 - 4 x^{2}$ . Kemudian $d u = - 8 x d x$ sehingga $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 4 - 4 x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $4 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 - 4 x^{2}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 - 4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$0 - 8 x$

Langkah 1.1.4

Kurangi $8 x$ dengan $0$ .

$- 8 x$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 4 - 4 x^{2}$ .

$u_{lower} = 4 - 4 \cdot 0^{2}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 4 - 4 \cdot 0$

Langkah 1.3.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$u_{lower} = 4$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 4 - 4 x^{2}$ .

$u_{upper} = 4 - 4 \cdot 1^{2}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{upper} = 4 - 4 \cdot 1$

Langkah 1.5.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$u_{upper} = 4 - 4$

Langkah 1.5.2

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$u_{upper} = 0$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{8}) d u$

Langkah 2.2

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{8}$ .

$\int_{4}^{0} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 8} d u$

Langkah 2.3

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $\sqrt{u}$ .

$\int_{4}^{0} - \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int_{4}^{0} \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{8}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{8}$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{8} \int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Langkah 5

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 5.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 5.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 5.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 5.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{0}$

Langkah 7

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $2 u^{\frac{1}{2}}$ pada $0$ dan pada $4$ .

$- \frac{1}{8} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$- \frac{1}{8} (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Langkah 7.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Langkah 7.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Langkah 7.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Langkah 7.2.4

Evaluasi eksponennya.

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Langkah 7.2.5

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Langkah 7.2.6

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 7.2.7

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Langkah 7.2.8

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Langkah 7.2.8.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2^{1})$

Langkah 7.2.9

Evaluasi eksponennya.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2)$

Langkah 7.2.10

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 4)$

Langkah 7.2.11

Kurangi $4$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{8} \cdot - 4$

Langkah 7.2.12

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$4 (\frac{1}{8})$

Langkah 7.2.13

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{8}$ .

$\frac{4}{8}$

Langkah 7.2.14

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.14.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\frac{4 (1)}{8}$

Langkah 7.2.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.14.2.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Langkah 7.2.14.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Langkah 7.2.14.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1}{2}$

Bentuk Desimal:

$0.5$

Langkah 9