Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{1} = x^{2}$ . Kemudian $d u_{1} = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{1} = x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Langkah 1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = 1^{2}$

Langkah 1.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{upper} = 1$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ , $d u_{1}$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ sebagai ${u_{1}}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u_{1}}$ sebagai ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $4$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.4.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $u_{1}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{u_{1}}{2} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Langkah 2.3

Gabungkan $\frac{u_{1}}{2}$ dan $e^{- {u_{1}}^{2}}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Langkah 4

Biarkan $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Kemudian $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ sehingga $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $- {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Langkah 4.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $- {u_{1}}^{2}$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- (2 u_{1})$

Langkah 4.1.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 u_{1}$

Langkah 4.2

Substitusikan batas bawah untuk $u_{1}$ di $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = - 0^{2}$

Langkah 4.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = - 0$

Langkah 4.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 4.4

Substitusikan batas atas untuk $u_{1}$ di $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = - 1^{2}$

Langkah 4.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Langkah 4.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Langkah 4.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Langkah 4.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Langkah 5.2

Gabungkan $e^{u_{2}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Langkah 6

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 1} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} d u_{2}))$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 8.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 9

Integral dari $e^{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}}]_{0}^{- 1}$

Langkah 10

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Evaluasi $e^{u_{2}}$ pada $- 1$ dan pada $0$ .

$- \frac{1}{4} ((e^{- 1}) - e^{0})$

Langkah 10.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$- \frac{1}{4} (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

Langkah 10.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{4} (e^{- 1} - 1)$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{e} - 1)$

Langkah 11.2

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{e} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Langkah 11.3

Kalikan $\frac{1}{e}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Langkah 11.4

Kalikan $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 4} + 1 (\frac{1}{4})$

Langkah 11.4.2

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 4} + \frac{1}{4}$

Langkah 11.5

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $e$ .

$- \frac{1}{4 e} + \frac{1}{4}$

Langkah 12

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{1}{4 e} + \frac{1}{4}$

Bentuk Desimal:

$0.15803013 \dots$

Langkah 13