Kalkulus Contoh

$y \sqrt{y^{3} + 1} = x$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y^{3} + 1}$ sebagai ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} = x$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = y$ dan $g (x) = {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y \frac{d}{d x} [{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = y^{3} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $y^{3} + 1$ .

$y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y^{3} + 1$ .

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Penjumlahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.7.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$y (\frac{{(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.7.2.2

Pindahkan ${(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (\frac{1}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.7.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $y$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1] + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.7.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{3} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.8

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.8.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.8.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.9

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.10

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 y^{2} y' + 0) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.11

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1

Tambahkan $3 y^{2} y'$ dan $0$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 y^{2} y') + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.11.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (y^{2} y') + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.11.3

Gabungkan $y^{2}$ dan $\frac{3 y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y^{2} (3 y)}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.12

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.1

Pindahkan $y$ .

$\frac{y \cdot y^{2} \cdot 3}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.12.2

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{y^{1} y^{2} \cdot 3}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.12.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{y^{1 + 2} \cdot 3}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.12.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{y^{3} \cdot 3}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.13

Gabungkan $\frac{y^{3} \cdot 3}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $y'$ .

$\frac{y^{3} \cdot 3 y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.14

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y^{3}$ .

$\frac{3 \cdot y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.15

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y'$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' = 1$

Langkah 6

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}, 1, 1$

Langkah 6.1.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.2

Kalikan setiap suku pada $\frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' = 1$ dengan $2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' = 1$ dengan $2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 \frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 y^{3} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y^{3} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.2.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3 y^{3} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$3 y^{3} y' + 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.2.1.5

Kalikan ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.5.1

Pindahkan ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 y^{3} y' + 2 ({(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.2.1.5.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$3 y^{3} y' + 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.2.1.5.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$3 y^{3} y' + 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.2.1.5.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$3 y^{3} y' + 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{2}{2}} y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.2.1.5.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$3 y^{3} y' + 2 {(y^{3} + 1)}^{1} y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.2.1.6

Sederhanakan $2 {(y^{3} + 1)}^{1} y'$ .

$3 y^{3} y' + 2 (y^{3} + 1) y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.2.1.7

Terapkan sifat distributif.

$3 y^{3} y' + (2 y^{3} + 2 \cdot 1) y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.2.1.8

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$3 y^{3} y' + (2 y^{3} + 2) y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.2.1.9

Terapkan sifat distributif.

$3 y^{3} y' + 2 y^{3} y' + 2 y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $3 y^{3} y'$ dan $2 y^{3} y'$ .

$5 y^{3} y' + 2 y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Kalikan $2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$5 y^{3} y' + 2 y' = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Faktorkan $y'$ dari $5 y^{3} y' + 2 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Faktorkan $y'$ dari $5 y^{3} y'$ .

$y' (5 y^{3}) + 2 y' = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.3.1.2

Faktorkan $y'$ dari $2 y'$ .

$y' (5 y^{3}) + y' \cdot 2 = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.3.1.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (5 y^{3}) + y' \cdot 2$ .

$y' (5 y^{3} + 2) = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.3.2

Bagi setiap suku pada $y' (5 y^{3} + 2) = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $5 y^{3} + 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Bagilah setiap suku di $y' (5 y^{3} + 2) = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $5 y^{3} + 2$ .

$\frac{y' (5 y^{3} + 2)}{5 y^{3} + 2} = \frac{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5 y^{3} + 2}$

Langkah 6.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5 y^{3} + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (5 y^{3} + 2)}{5 y^{3} + 2} = \frac{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5 y^{3} + 2}$

Langkah 6.3.2.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5 y^{3} + 2}$

Langkah 7

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5 y^{3} + 2}$