Kalkulus Contoh

$5 x^{3} - x^{2} + 3 y = 2 + 4 y^{2}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (5 x^{3} - x^{2} + 3 y) = \frac{d}{d x} (2 + 4 y^{2})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 x^{3} - x^{2} + 3 y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$15 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$15 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [3 y]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 y$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$15 x^{2} - 2 x + 3 \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.4.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$15 x^{2} - 2 x + 3 y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 + 4 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Langkah 3.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$0 + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$0 + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$0 + 4 (2 y y')$

Langkah 3.2.4

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$0 + 8 y y'$

Langkah 3.3

Tambahkan $0$ dan $8 y y'$ .

$8 y y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$15 x^{2} - 2 x + 3 y' = 8 y y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangkan $8 y y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$15 x^{2} - 2 x + 3 y' - 8 y y' = 0$

Langkah 5.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kurangkan $15 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 x + 3 y' - 8 y y' = - 15 x^{2}$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $2 x$ ke kedua sisi persamaan.

$3 y' - 8 y y' = - 15 x^{2} + 2 x$

Langkah 5.3

Faktorkan $y'$ dari $3 y' - 8 y y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $y'$ dari $3 y'$ .

$y' \cdot 3 - 8 y y' = - 15 x^{2} + 2 x$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $y'$ dari $- 8 y y'$ .

$y' \cdot 3 + y' (- 8 y) = - 15 x^{2} + 2 x$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $y'$ dari $y' \cdot 3 + y' (- 8 y)$ .

$y' (3 - 8 y) = - 15 x^{2} + 2 x$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $y' (3 - 8 y) = - 15 x^{2} + 2 x$ dengan $3 - 8 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $y' (3 - 8 y) = - 15 x^{2} + 2 x$ dengan $3 - 8 y$ .

$\frac{y' (3 - 8 y)}{3 - 8 y} = \frac{- 15 x^{2}}{3 - 8 y} + \frac{2 x}{3 - 8 y}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3 - 8 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (3 - 8 y)}{3 - 8 y} = \frac{- 15 x^{2}}{3 - 8 y} + \frac{2 x}{3 - 8 y}$

Langkah 5.4.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 15 x^{2}}{3 - 8 y} + \frac{2 x}{3 - 8 y}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 15 x^{2} + 2 x}{3 - 8 y}$

Langkah 5.4.3.2

Faktorkan $x$ dari $- 15 x^{2} + 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.1

Faktorkan $x$ dari $- 15 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 15 x) + 2 x}{3 - 8 y}$

Langkah 5.4.3.2.2

Faktorkan $x$ dari $2 x$ .

$y' = \frac{x (- 15 x) + x \cdot 2}{3 - 8 y}$

Langkah 5.4.3.2.3

Faktorkan $x$ dari $x (- 15 x) + x \cdot 2$ .

$y' = \frac{x (- 15 x + 2)}{3 - 8 y}$

Langkah 5.4.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 15 x$ .

$y' = \frac{x (- (15 x) + 2)}{3 - 8 y}$

Langkah 5.4.3.4

Tulis kembali $2$ sebagai $- 1 (- 2)$ .

$y' = \frac{x (- (15 x) - 1 (- 2))}{3 - 8 y}$

Langkah 5.4.3.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (15 x) - 1 (- 2)$ .

$y' = \frac{x (- (15 x - 2))}{3 - 8 y}$

Langkah 5.4.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.6.1

Tulis kembali $- (15 x - 2)$ sebagai $- 1 (15 x - 2)$ .

$y' = \frac{x (- 1 (15 x - 2))}{3 - 8 y}$

Langkah 5.4.3.6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{x (15 x - 2)}{3 - 8 y}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (15 x - 2)}{3 - 8 y}$