Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x^{2} \sin (x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{2}$ dan $d v = \sin (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) (2 x) d x$

Langkah 2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - 2 \cos (x) x d x$

Langkah 3

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) x d x)$

Langkah 4

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) x d x$

Langkah 5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \cos (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 2 (x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) d x)$

Langkah 6

Integral dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- \cos (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 2 (x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}))$

Langkah 7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Evaluasi $x^{2} (- \cos (x))$ pada $\frac{π}{2}$ dan pada $0$ .

$({(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))) - 0^{2} (- \cos (0)) + 2 (x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}))$

Langkah 7.1.2

Evaluasi $x \sin (x)$ pada $\frac{π}{2}$ dan pada $0$ .

$({(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))) - 0^{2} (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}))$

Langkah 7.1.3

Evaluasi $- \cos (x)$ pada $\frac{π}{2}$ dan pada $0$ .

$({(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))) - 0^{2} (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Langkah 7.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.4.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) - 0 (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Langkah 7.1.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 0 (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Langkah 7.1.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 0 \cos (0) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Langkah 7.1.4.4

Kalikan $0$ dengan $\cos (0)$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 0 + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Langkah 7.1.4.5

Tambahkan ${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))$ dan $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Langkah 7.1.4.6

Gabungkan $\frac{π}{2}$ dan $\sin (\frac{π}{2})$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Langkah 7.1.4.7

Kalikan $0$ dengan $\sin (0)$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Langkah 7.1.4.8

Tambahkan $\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2}$ dan $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Langkah 7.1.4.9

Untuk menuliskan $- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{2}{2})$

Langkah 7.1.4.10

Gabungkan $- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ dan $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2})$

Langkah 7.1.4.11

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 \frac{π \sin (\frac{π}{2}) - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2}$

Langkah 7.1.4.12

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 \frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$

Langkah 7.1.4.13

Gabungkan $2$ dan $\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \frac{2 (π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)))}{2}$

Langkah 7.1.4.14

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.4.14.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \frac{2 (π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)))}{2}$

Langkah 7.1.4.14.2

Bagilah $π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ dengan $1$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

Langkah 7.2.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \cdot 1 - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

Langkah 7.2.3

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \cdot 1 - 2 (- 0 + \cos (0))$

Langkah 7.2.4

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)$

Langkah 7.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} \cdot 0 + π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)$

Langkah 7.2.6

Kalikan ${(\frac{π}{2})}^{2}$ dengan $0$ .

$0 + π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)$

Langkah 7.2.7

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$0 + π - 2 (- 0 + 1)$

Langkah 7.2.8

Tambahkan $0$ dan $π$ .

$π - 2 (- 0 + 1)$

Langkah 7.2.9

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$π - 2 (0 + 1)$

Langkah 7.2.10

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$π - 2 \cdot 1$

Langkah 7.2.11

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$π - 2$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$π - 2$

Bentuk Desimal:

$1.14159265 \dots$