Kalkulus Contoh

$y' = \frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensialnya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$

Langkah 2

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai fungsi dari $\frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pisahkan $\frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Pisahkan pecahan $\frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$ menjadi dua pecahan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $y^{2}$ dan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x y} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Langkah 2.1.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.2.1

Faktorkan $y$ dari $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Langkah 2.1.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Langkah 2.1.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Langkah 2.1.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{2 x y}$

Langkah 2.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{x (2 y)}$

Langkah 2.1.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{x (2 y)}$

Langkah 2.1.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x}{2 y}$

Langkah 2.2

Faktorkan $\frac{y}{x}$ dari $\frac{y}{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $\frac{y}{x}$ dari $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} + \frac{x}{2 y}$

Langkah 2.2.2

Susun kembali $\frac{y}{x}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{x}{2 y}$

Langkah 2.3

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $f (\frac{y}{x})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Faktorkan $\frac{x}{y}$ dari $\frac{x}{2 y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Faktorkan $\frac{x}{y}$ dari $\frac{x}{2 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 2.3.1.2

Susun kembali $\frac{x}{y}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y}$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $\frac{x}{y}$ sebagai ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

Langkah 3

Biarkan $V = \frac{y}{x}$ . Substitusikan $V$ ke $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V + \frac{1}{2} V^{- 1}$

Langkah 4

Selesaikan $V = \frac{y}{x}$ untuk $y$ .

$y = V x$

Langkah 5

Gunakan kaidah hasil kali untuk mencari turunan dari $y = V x$ terhadap $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Langkah 6

Substitusikan $x \frac{d V}{d x} + V$ untuk $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V + \frac{1}{2} V^{- 1}$

Langkah 7

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Selesaikan $\frac{d V}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} + \frac{1}{2} V^{- 1}$

Langkah 7.1.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V}$

Langkah 7.1.1.1.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V}$

Langkah 7.1.1.2

Kurangkan $V$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$

Langkah 7.1.1.3

Bagi setiap suku pada $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Langkah 7.1.1.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Langkah 7.1.1.3.2.1.2

Bagilah $\frac{d V}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Langkah 7.1.1.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V}{x}$

Langkah 7.1.1.3.3.2

Untuk menuliskan $- V$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Langkah 7.1.1.3.3.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.3.3.1

Gabungkan $- V$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Langkah 7.1.1.3.3.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Langkah 7.1.1.3.3.3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.3.3.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.3.3.3.1.1

Faktorkan $V$ dari $V - V \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Naikkan $V$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V^{1} - V \cdot 2}{2}}{x}$

Langkah 7.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Faktorkan $V$ dari $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

Langkah 7.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Faktorkan $V$ dari $- V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Langkah 7.1.1.3.3.3.3.1.1.4

Faktorkan $V$ dari $V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Langkah 7.1.1.3.3.3.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 2)}{2}}{x}$

Langkah 7.1.1.3.3.3.3.1.3

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot - 1}{2}}{x}$

Langkah 7.1.1.3.3.3.3.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{- 1 \cdot V}{2}}{x}$

Langkah 7.1.1.3.3.3.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}}{x}$

Langkah 7.1.1.3.3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.3.4.1

Untuk menuliskan $- \frac{V}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

Langkah 7.1.1.3.3.4.2

Kalikan $\frac{V}{2}$ dengan $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V \cdot V}{2 V}}{x}$

Langkah 7.1.1.3.3.4.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1 - V \cdot V}{2 V}}{x}$

Langkah 7.1.1.3.3.4.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.3.4.4.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1^{2} - V \cdot V}{2 V}}{x}$

Langkah 7.1.1.3.3.4.4.2

Tulis kembali $V \cdot V$ sebagai $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1^{2} - V^{2}}{2 V}}{x}$

Langkah 7.1.1.3.3.4.4.3

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}}{x}$

Langkah 7.1.1.3.3.5

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Langkah 7.1.1.3.3.6

Kalikan $\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

Langkah 7.1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Langkah 7.1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)}$ .

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} (\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Langkah 7.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.4.1

Kalikan $\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

Langkah 7.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2 V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.4.2.1

Faktorkan $2 V$ dari $2 V x$ .

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V (x)}$

Langkah 7.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

Langkah 7.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{x}$

Langkah 7.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $(1 + V) (1 - V)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.4.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{x}$

Langkah 7.1.4.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Langkah 7.1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $V$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2.2.2

Biarkan $u = (1 + V) (1 - V)$ . Kemudian $d u = - 2 V d V$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = V d V$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1

Biarkan $u = (1 + V) (1 - V)$ . Tentukan $\frac{d u}{d V}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1.1

Diferensialkan $(1 + V) (1 - V)$ .

$\frac{d}{d V} [(1 + V) (1 - V)]$

Langkah 7.2.2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d V} [f (V) g (V)]$ adalah $f (V) \frac{d}{d V} [g (V)] + g (V) \frac{d}{d V} [f (V)]$ di mana $f (V) = 1 + V$ dan $g (V) = 1 - V$ .

$(1 + V) \frac{d}{d V} [1 - V] + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Langkah 7.2.2.2.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - V$ terhadap $V$ adalah $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- V]$ .

$(1 + V) (\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Langkah 7.2.2.2.1.3.2

Karena $1$ konstan terhadap $V$ , turunan dari $1$ terhadap $V$ adalah $0$ .

$(1 + V) (0 + \frac{d}{d V} [- V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Langkah 7.2.2.2.1.3.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d V} [- V]$ .

$(1 + V) \frac{d}{d V} [- V] + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Langkah 7.2.2.2.1.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $V$ , turunan dari $- V$ terhadap $V$ adalah $- \frac{d}{d V} [V]$ .

$(1 + V) (- \frac{d}{d V} [V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Langkah 7.2.2.2.1.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ adalah $n V^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(1 + V) (- 1 \cdot 1) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Langkah 7.2.2.2.1.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1.3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$(1 + V) \cdot - 1 + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Langkah 7.2.2.2.1.3.6.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $1 + V$ .

$- 1 \cdot (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Langkah 7.2.2.2.1.3.6.3

Tulis kembali $- 1 (1 + V)$ sebagai $- (1 + V)$ .

$- (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Langkah 7.2.2.2.1.3.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + V$ terhadap $V$ adalah $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V]$ .

$- (1 + V) + (1 - V) (\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V])$

Langkah 7.2.2.2.1.3.8

Karena $1$ konstan terhadap $V$ , turunan dari $1$ terhadap $V$ adalah $0$ .

$- (1 + V) + (1 - V) (0 + \frac{d}{d V} [V])$

Langkah 7.2.2.2.1.3.9

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d V} [V]$ .

$- (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [V]$

Langkah 7.2.2.2.1.3.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ adalah $n V^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- (1 + V) + (1 - V) \cdot 1$

Langkah 7.2.2.2.1.3.11

Kalikan $1 - V$ dengan $1$ .

$- (1 + V) + 1 - V$

Langkah 7.2.2.2.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$- 1 \cdot 1 - V + 1 - V$

Langkah 7.2.2.2.1.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1 - V + 1 - V$

Langkah 7.2.2.2.1.4.2.2

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$- V + 0 - V$

Langkah 7.2.2.2.1.4.2.3

Tambahkan $- V$ dan $0$ .

$- V - V$

Langkah 7.2.2.2.1.4.2.4

Kurangi $V$ dengan $- V$ .

$- 2 V$

Langkah 7.2.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2.2.3.2

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2.2.3.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$2 \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2.2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2.2.6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2.2.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.7.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2.2.7.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.7.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2.2.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.7.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2.2.7.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2.2.7.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2.2.7.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2.2.8

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2.2.9

Sederhanakan.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2.2.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $(1 + V) (1 - V)$ .

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 7.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) = \ln (| x |) + C$

Langkah 7.3

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$- \ln (| (1 + | x |) (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Langkah 7.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Perluas $(1 + | x |) (1 - | x |)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$- \ln (| 1 (1 - | x |) + | x | (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Langkah 7.3.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- | x |) + | x | (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Langkah 7.3.2.1.3

Terapkan sifat distributif.

$- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- | x |) + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Langkah 7.3.2.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.2.1.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$- \ln (| 1 + 1 (- | x |) + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Langkah 7.3.2.2.1.2

Kalikan $- | x |$ dengan $1$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Langkah 7.3.2.2.1.3

Kalikan $| x |$ dengan $1$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Langkah 7.3.2.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - | x | | x | |) - \ln (| x |) = C$

Langkah 7.3.2.2.1.5

Kalikan $| x |$ dengan $| x |$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.2.1.5.1

Pindahkan $| x |$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - (| x | | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Langkah 7.3.2.2.1.5.2

Kalikan $| x |$ dengan $| x |$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Langkah 7.3.2.2.2

Tambahkan $- | x |$ dan $| x |$ .

$- \ln (| 1 + 0 - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Langkah 7.3.2.2.3

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$- \ln (| 1 - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Langkah 7.3.3

Tambahkan $\ln (| x |)$ ke kedua sisi persamaan.

$- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$

Langkah 7.3.4

Bagi setiap suku pada $- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.4.1

Bagilah setiap suku di $- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 1 - V^{2} |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Langkah 7.3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.4.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\ln (| 1 - V^{2} |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Langkah 7.3.4.2.2

Bagilah $\ln (| 1 - V^{2} |)$ dengan $1$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Langkah 7.3.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.4.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Langkah 7.3.4.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot C$ sebagai $- C$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Langkah 7.3.4.3.1.3

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Langkah 7.3.4.3.1.4

Tulis kembali $- 1 \cdot \ln (| x |)$ sebagai $- \ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C - \ln (| x |)$

Langkah 7.3.5

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| 1 - V^{2} |) + \ln (| x |) = - C$

Langkah 7.3.6

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 - V^{2} | | x |) = - C$

Langkah 7.3.7

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$\ln (| (1 - V^{2}) x |) = - C$

Langkah 7.3.8

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 1 x - V^{2} x |) = - C$

Langkah 7.3.9

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\ln (| x - V^{2} x |) = - C$

Langkah 7.3.10

Untuk menyelesaikan $V$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| x - V^{2} x |)} = e^{- C}$

Langkah 7.3.11

Tulis kembali $\ln (| x - V^{2} x |) = - C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | x - V^{2} x |$

Langkah 7.3.12

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.12.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| x - V^{2} x | = e^{- C}$ .

$| x - V^{2} x | = e^{- C}$

Langkah 7.3.12.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$x - V^{2} x = \pm e^{- C}$

Langkah 7.3.12.3

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$

Langkah 7.3.12.4

Bagi setiap suku pada $- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$ dengan $- x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.12.4.1

Bagilah setiap suku di $- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$ dengan $- x$ .

$\frac{- V^{2} x}{- x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Langkah 7.3.12.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.12.4.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Langkah 7.3.12.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.12.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Langkah 7.3.12.4.2.2.2

Bagilah $V^{2}$ dengan $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Langkah 7.3.12.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.12.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.12.4.3.1.1

Sederhanakan $\frac{\pm e^{- C}}{- x}$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{- x}{- x}$

Langkah 7.3.12.4.3.1.2

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

Langkah 7.3.12.4.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.12.4.3.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

Langkah 7.3.12.4.3.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + 1$

Langkah 7.3.12.5

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + 1}$

Langkah 7.3.12.6

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.12.6.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}}$

Langkah 7.3.12.6.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C} + x}{x}}$

Langkah 7.3.12.6.3

Tulis kembali $\sqrt{\frac{\pm e^{- C} + x}{x}}$ sebagai $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$

Langkah 7.3.12.6.4

Kalikan $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ dengan $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Langkah 7.3.12.6.5

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.12.6.5.1

Kalikan $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ dengan $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Langkah 7.3.12.6.5.2

Naikkan $\sqrt{x}$ menjadi pangkat $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Langkah 7.3.12.6.5.3

Naikkan $\sqrt{x}$ menjadi pangkat $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Langkah 7.3.12.6.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Langkah 7.3.12.6.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Langkah 7.3.12.6.5.6

Tulis kembali ${\sqrt{x}}^{2}$ sebagai $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.12.6.5.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 7.3.12.6.5.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 7.3.12.6.5.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 7.3.12.6.5.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.12.6.5.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 7.3.12.6.5.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Langkah 7.3.12.6.5.6.5

Sederhanakan.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x}$

Langkah 7.3.12.6.6

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{- C} + x) x}}{x}$

Langkah 7.3.12.6.7

Susun kembali faktor-faktor dalam $\pm \frac{\sqrt{(\pm e^{- C} + x) x}}{x}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{x (\pm e^{- C} + x)}}{x}$

Langkah 7.4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$V = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$

Langkah 8

Substitusikan $\frac{y}{x}$ untuk $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$

Langkah 9.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$

Langkah 9.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$