Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{a^{\frac{2}{5}}} x^{4} \sqrt{a^{2} - x^{5}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = a^{2} - x^{5}$ . Kemudian $d u = - 5 x^{4} d x$ sehingga $- \frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = a^{2} - x^{5}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $a^{2} - x^{5}$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2} - x^{5}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $a^{2} - x^{5}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Langkah 1.1.2.2

Karena $a^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $a^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{5}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$0 - (5 x^{4})$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$0 - 5 x^{4}$

Langkah 1.1.4

Kurangi $5 x^{4}$ dengan $0$ .

$- 5 x^{4}$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = a^{2} - x^{5}$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0^{5}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0$

Langkah 1.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$u_{lower} = a^{2} + 0$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $a^{2}$ dan $0$ .

$u_{lower} = a^{2}$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = a^{2} - x^{5}$ .

$u_{upper} = a^{2} - {(a^{\frac{2}{5}})}^{5}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan eksponen dalam ${(a^{\frac{2}{5}})}^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = a^{2} - a^{\frac{2}{5} \cdot 5}$

Langkah 1.5.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = a^{2} - a^{\frac{2}{5} \cdot 5}$

Langkah 1.5.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = a^{2} - a^{2}$

Langkah 1.5.2

Kurangi $a^{2}$ dengan $a^{2}$ .

$u_{upper} = 0$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = a^{2}$

$u_{upper} = 0$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 5} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{5}) d u$

Langkah 2.2

Gabungkan $\sqrt{u}$ dan $\frac{1}{5}$ .

$\int_{a^{2}}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{5} d u$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{5} d u$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{5}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{5}$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{5} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u)$

Langkah 5

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{5} \int_{a^{2}}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{5} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{a^{2}}^{0}$

Langkah 7

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ pada $0$ dan pada $a^{2}$ .

$- \frac{1}{5} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.5

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{5} (0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.6

Kalikan eksponen dalam ${(a^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.6.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{5} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

Langkah 7.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{5} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

Langkah 7.2.6.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{5} (0 - \frac{2}{3} a^{3})$

Langkah 7.2.7

Kurangi $\frac{2}{3} a^{3}$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{5} (- \frac{2}{3} a^{3})$

Langkah 7.2.8

Gabungkan $a^{3}$ dan $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{5} (- \frac{a^{3} \cdot 2}{3})$

Langkah 7.2.9

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\frac{1}{5}) \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

Langkah 7.2.10

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

Langkah 7.2.11

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $\frac{a^{3} \cdot 2}{3}$ .

$\frac{a^{3} \cdot 2}{5 \cdot 3}$

Langkah 7.2.12

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$\frac{a^{3} \cdot 2}{15}$

Langkah 7.2.13

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $a^{3}$ .

$\frac{2 a^{3}}{15}$

Langkah 8

Susun kembali suku-suku.

$\frac{2}{15} a^{3}$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{2}{15}$ dan $a^{3}$ .

$\frac{2 a^{3}}{15}$