Kalkulus Contoh

$x y' - 2 y = 2$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensialnya.

$x \frac{d y}{d x} - 2 y = 2$

Langkah 2

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tambahkan $2 y$ ke kedua sisi persamaan.

$x \frac{d y}{d x} = 2 + 2 y$

Langkah 2.1.2

Bagi setiap suku pada $x \frac{d y}{d x} = 2 + 2 y$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} = 2 + 2 y$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2}{x} + \frac{2 y}{x}$

Langkah 2.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2}{x} + \frac{2 y}{x}$

Langkah 2.1.2.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{2 y}{x}$

Langkah 2.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + 2 y}{x}$

Langkah 2.2.2

Faktorkan $2$ dari $2 + 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1 + 2 y}{x}$

Langkah 2.2.2.2

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 1 + 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot (1 + y)}{x}$

Langkah 2.2.2.3

Kalikan $2$ dengan $1 + y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1 + y)}{x}$

Langkah 2.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{1 + y}$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} \cdot \frac{2 (1 + y)}{x}$

Langkah 2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Faktorkan $1 + y$ dari $2 (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} \cdot \frac{(1 + y) \cdot 2}{x}$

Langkah 2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} \cdot \frac{(1 + y) \cdot 2}{x}$

Langkah 2.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x}$

Langkah 2.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{2}{x} d x$

Langkah 3

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 3.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Biarkan $u = 1 + y$ . Kemudian $d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Biarkan $u = 1 + y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Diferensialkan $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Langkah 3.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 3.2.1.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 3.2.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 3.2.1.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 3.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 3.2.2

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 3.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.3.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 3.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = 2 \ln (| x |) + C$

Langkah 4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| 1 + y |) - 2 \ln (| x |) = C$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan $\ln (| 1 + y |) - 2 \ln (| x |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Sederhanakan $- 2 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\ln (| 1 + y |) - \ln ({| x |}^{2}) = C$

Langkah 4.2.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln (| 1 + y |) - \ln (x^{2}) = C$

Langkah 4.2.1.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y |}{x^{2}}) = C$

Langkah 4.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y |}{x^{2}})} = e^{C}$

Langkah 4.4

Tulis kembali $\ln (\frac{| 1 + y |}{x^{2}}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| 1 + y |}{x^{2}}$

Langkah 4.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| 1 + y |}{x^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| 1 + y |}{x^{2}} = e^{C}$

Langkah 4.5.2

Kalikan kedua ruas dengan $x^{2}$ .

$\frac{| 1 + y |}{x^{2}} x^{2} = e^{C} x^{2}$

Langkah 4.5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| 1 + y |}{x^{2}} x^{2} = e^{C} x^{2}$

Langkah 4.5.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| 1 + y | = e^{C} x^{2}$

Langkah 4.5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.3.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{C} x^{2}$ .

$| 1 + y | = x^{2} e^{C}$

Langkah 4.5.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.4.1

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$1 + y = \pm x^{2} e^{C}$

Langkah 4.5.4.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = \pm x^{2} e^{C} - 1$

Langkah 5

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm x^{2} C - 1$

Langkah 5.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C x^{2} - 1$