Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} {(x + e^{2 x})}^{\frac{1}{x}}$

Langkah 1

Gunakan sifat dari logaritma untuk menyederhanakan limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali ${(x + e^{2 x})}^{\frac{1}{x}}$ sebagai $e^{\ln ({(x + e^{2 x})}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(x + e^{2 x})}^{\frac{1}{x}})}$

Langkah 1.2

Perluas $\ln ({(x + e^{2 x})}^{\frac{1}{x}})$ dengan memindahkan $\frac{1}{x}$ ke luar logaritma.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (x + e^{2 x})}$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (x + e^{2 x})}$

Langkah 2.2

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $\ln (x + e^{2 x})$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + e^{2 x})}{x}}$

Langkah 3

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (x + e^{2 x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Langkah 3.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Pindahkan limit ke dalam logaritma.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + e^{2 x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Langkah 3.1.2.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} e^{2 x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Langkah 3.1.2.3

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + e^{lim_{x \to 0} 2 x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Langkah 3.1.2.4

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + e^{2 lim_{x \to 0} x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Langkah 3.1.2.5

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.5.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$e^{\frac{\ln (0 + e^{2 lim_{x \to 0} x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Langkah 3.1.2.5.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$e^{\frac{\ln (0 + e^{2 \cdot 0})}{lim_{x \to 0} x}}$

Langkah 3.1.2.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.6.1.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$e^{\frac{\ln (0 + e^{0})}{lim_{x \to 0} x}}$

Langkah 3.1.2.6.1.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$e^{\frac{\ln (0 + 1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Langkah 3.1.2.6.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Langkah 3.1.2.6.3

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Langkah 3.1.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$e^{\frac{0}{0}}$

Langkah 3.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$e^{\frac{0}{0}}$

Langkah 3.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + e^{2 x})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + e^{2 x})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + e^{2 x})]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x + e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x + e^{2 x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.2.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x + e^{2 x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [x + e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + e^{2 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $2 x$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.5.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.6

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + e^{2 x} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + e^{2 x} \cdot 2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.8

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + e^{2 x} \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + 2 \cdot e^{2 x})}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.10.1

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + 2 e^{2 x})$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{(1 + 2 e^{2 x}) \frac{1}{x + e^{2 x}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.10.2

Kalikan $1 + 2 e^{2 x}$ dengan $\frac{1}{x + e^{2 x}}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 + 2 e^{2 x}}{x + e^{2 x}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 + 2 e^{2 x}}{x + e^{2 x}}}{1}}$

Langkah 3.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 e^{2 x}}{x + e^{2 x}} \cdot 1}$

Langkah 3.5

Kalikan $\frac{1 + 2 e^{2 x}}{x + e^{2 x}}$ dengan $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 e^{2 x}}{x + e^{2 x}}}$

Langkah 4

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0} 1 + 2 e^{2 x}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 x}}}$

Langkah 4.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 e^{2 x}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 x}}}$

Langkah 4.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$e^{\frac{1 + lim_{x \to 0} 2 e^{2 x}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 x}}}$

Langkah 4.4

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$e^{\frac{1 + 2 lim_{x \to 0} e^{2 x}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 x}}}$

Langkah 4.5

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$e^{\frac{1 + 2 e^{lim_{x \to 0} 2 x}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 x}}}$

Langkah 4.6

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$e^{\frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 x}}}$

Langkah 4.7

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$e^{\frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} e^{2 x}}}$

Langkah 4.8

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$e^{\frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x + e^{lim_{x \to 0} 2 x}}}$

Langkah 4.9

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$e^{\frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 lim_{x \to 0} x}}}$

Langkah 5

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$e^{\frac{1 + 2 e^{2 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 lim_{x \to 0} x}}}$

Langkah 5.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$e^{\frac{1 + 2 e^{2 \cdot 0}}{0 + e^{2 lim_{x \to 0} x}}}$

Langkah 5.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$e^{\frac{1 + 2 e^{2 \cdot 0}}{0 + e^{2 \cdot 0}}}$

Langkah 6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$e^{\frac{1 + 2 e^{0}}{0 + e^{2 \cdot 0}}}$

Langkah 6.1.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$e^{\frac{1 + 2 \cdot 1}{0 + e^{2 \cdot 0}}}$

Langkah 6.1.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$e^{\frac{1 + 2}{0 + e^{2 \cdot 0}}}$

Langkah 6.1.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$e^{\frac{3}{0 + e^{2 \cdot 0}}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$e^{\frac{3}{0 + e^{0}}}$

Langkah 6.2.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$e^{\frac{3}{0 + 1}}$

Langkah 6.2.3

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$e^{\frac{3}{1}}$

Langkah 6.3

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$e^{3}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$e^{3}$

Bentuk Desimal:

$20.08553692 \dots$