Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$

Langkah 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{4} x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Langkah 1.1.2.3

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Langkah 1.1.2.4

Gabungkan $\frac{4}{4}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Langkah 1.1.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Langkah 1.1.2.5.2

Bagilah $x^{3}$ dengan $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$x^{3} + 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Langkah 1.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $\frac{75}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{75}{2} x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{75}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{75}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{75}{2} (2 x)$

Langkah 1.1.4.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{75}{2}$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{2 \cdot 75}{2} x$

Langkah 1.1.4.4

Kalikan $2$ dengan $75$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{150}{2} x$

Langkah 1.1.4.5

Gabungkan $\frac{150}{2}$ dan $x$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{150 x}{2}$

Langkah 1.1.4.6

Hapus faktor persekutuan dari $150$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.6.1

Faktorkan $2$ dari $150 x$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{2 (75 x)}{2}$

Langkah 1.1.4.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{2 (75 x)}{2 (1)}$

Langkah 1.1.4.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{2 (75 x)}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.1.4.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{75 x}{1}$

Langkah 1.1.4.6.2.4

Bagilah $75 x$ dengan $1$ .

$f' (x) = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x$

Langkah 1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + 15 x^{2} + 75 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x]$

Langkah 1.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $15$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $15 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 x^{2} + 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [75 x]$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $2$ dengan $15$ .

$3 x^{2} + 30 x + \frac{d}{d x} [75 x]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [75 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $75$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $75 x$ terhadap $x$ adalah $75 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 30 x + 75 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 x^{2} + 30 x + 75 \cdot 1$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan $75$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 30 x + 75$

Langkah 1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $3 x^{2} + 30 x + 75$ .

$3 x^{2} + 30 x + 75$

Langkah 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $3 x^{2} + 30 x + 75 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$3 x^{2} + 30 x + 75 = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2} + 30 x + 75$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 30 x + 75 = 0$

Langkah 2.2.1.2

Faktorkan $3$ dari $30 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (10 x) + 75 = 0$

Langkah 2.2.1.3

Faktorkan $3$ dari $75$ .

$3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25 = 0$

Langkah 2.2.1.4

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2} + 3 (10 x)$ .

$3 (x^{2} + 10 x) + 3 \cdot 25 = 0$

Langkah 2.2.1.5

Faktorkan $3$ dari $3 (x^{2} + 10 x) + 3 \cdot 25$ .

$3 (x^{2} + 10 x + 25) = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$3 (x^{2} + 10 x + 5^{2}) = 0$

Langkah 2.2.2.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Langkah 2.2.2.3

Tulis kembali polinomialnya.

$3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Langkah 2.2.2.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 5$ .

$3 {(x + 5)}^{2} = 0$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $3 {(x + 5)}^{2} = 0$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $3 {(x + 5)}^{2} = 0$ dengan $3$ .

$\frac{3 {(x + 5)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 {(x + 5)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah ${(x + 5)}^{2}$ dengan $1$ .

${(x + 5)}^{2} = \frac{0}{3}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $3$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Langkah 2.4

Atur $x + 5$ agar sama dengan $0$ .

$x + 5 = 0$

Langkah 2.5

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 5$

Langkah 3

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $- 5$ dalam $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 5$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 5) = \frac{1}{4} \cdot {(- 5)}^{4} + 5 {(- 5)}^{3} + \frac{75}{2} \cdot {(- 5)}^{2}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Naikkan $- 5$ menjadi pangkat $4$ .

$f (- 5) = \frac{1}{4} \cdot 625 + 5 {(- 5)}^{3} + \frac{75}{2} \cdot {(- 5)}^{2}$

Langkah 3.1.2.1.2

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $625$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + 5 {(- 5)}^{3} + \frac{75}{2} \cdot {(- 5)}^{2}$

Langkah 3.1.2.1.3

Naikkan $- 5$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + 5 \cdot - 125 + \frac{75}{2} \cdot {(- 5)}^{2}$

Langkah 3.1.2.1.4

Kalikan $5$ dengan $- 125$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} - 625 + \frac{75}{2} \cdot {(- 5)}^{2}$

Langkah 3.1.2.1.5

Naikkan $- 5$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} - 625 + \frac{75}{2} \cdot 25$

Langkah 3.1.2.1.6

Kalikan $\frac{75}{2} \cdot 25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.6.1

Gabungkan $\frac{75}{2}$ dan $25$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} - 625 + \frac{75 \cdot 25}{2}$

Langkah 3.1.2.1.6.2

Kalikan $75$ dengan $25$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} - 625 + \frac{1875}{2}$

Langkah 3.1.2.2

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.2.1

Tulis $- 625$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625}{1} + \frac{1875}{2}$

Langkah 3.1.2.2.2

Kalikan $\frac{- 625}{1}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1875}{2}$

Langkah 3.1.2.2.3

Kalikan $\frac{- 625}{1}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625 \cdot 4}{4} + \frac{1875}{2}$

Langkah 3.1.2.2.4

Kalikan $\frac{1875}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625 \cdot 4}{4} + \frac{1875}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 3.1.2.2.5

Kalikan $\frac{1875}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625 \cdot 4}{4} + \frac{1875 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.1.2.2.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625 \cdot 4}{4} + \frac{1875 \cdot 2}{4}$

Langkah 3.1.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (- 5) = \frac{625 - 625 \cdot 4 + 1875 \cdot 2}{4}$

Langkah 3.1.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.4.1

Kalikan $- 625$ dengan $4$ .

$f (- 5) = \frac{625 - 2500 + 1875 \cdot 2}{4}$

Langkah 3.1.2.4.2

Kalikan $1875$ dengan $2$ .

$f (- 5) = \frac{625 - 2500 + 3750}{4}$

Langkah 3.1.2.5

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.5.1

Kurangi $2500$ dengan $625$ .

$f (- 5) = \frac{- 1875 + 3750}{4}$

Langkah 3.1.2.5.2

Tambahkan $- 1875$ dan $3750$ .

$f (- 5) = \frac{1875}{4}$

Langkah 3.1.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1875}{4}$ .

$\frac{1875}{4}$

Langkah 3.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $- 5$ dalam $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$ adalah $(- 5, \frac{1875}{4})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(- 5, \frac{1875}{4})$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 5)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 5.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 5.1) = 3 {(- 5.1)}^{2} + 30 (- 5.1) + 75$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 5.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 5.1) = 3 \cdot 26.01 + 30 (- 5.1) + 75$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $26.01$ .

$f'' (- 5.1) = 78.03 + 30 (- 5.1) + 75$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $30$ dengan $- 5.1$ .

$f'' (- 5.1) = 78.03 - 153 + 75$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Kurangi $153$ dengan $78.03$ .

$f'' (- 5.1) = - 74.97 + 75$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $- 74.97$ dan $75$ .

$f'' (- 5.1) = 0.03$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0.03$ .

$0.03$

Langkah 5.3

Pada $- 5.1$ , turunan keduanya adalah $0.03$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \infty, - 5)$ .

Meningkat pada $(- \infty, - 5)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 5, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 4.9$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 4.9) = 3 {(- 4.9)}^{2} + 30 (- 4.9) + 75$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 4.9$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 4.9) = 3 \cdot 24.01 + 30 (- 4.9) + 75$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $24.01$ .

$f'' (- 4.9) = 72.03 + 30 (- 4.9) + 75$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $30$ dengan $- 4.9$ .

$f'' (- 4.9) = 72.03 - 147 + 75$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Kurangi $147$ dengan $72.03$ .

$f'' (- 4.9) = - 74.97 + 75$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $- 74.97$ dan $75$ .

$f'' (- 4.9) = 0.03$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0.03$ .

$0.03$

Langkah 6.3

Pada $- 4.9$ , turunan keduanya adalah $0.03$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- 5, \infty)$ .

Meningkat pada $(- 5, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 7

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Tidak ada titik pada grafik yang memenuhi syarat.

Tidak Ada Titik Belok