Kalkulus Contoh

$y = \frac{3}{1 + x}$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 3$

Langkah 1

Untuk menghitung volume benda padat, pertama-tama tetapkan daerah dari setiap potongan kemudian integralkan di seluruh jangkauan. Daerah dari setiap potongan adalah daerah lingkaran dengan jari-jari $f (x)$ dan $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} d x$ di mana $f (x) = \frac{3}{1 + x}$

Langkah 2

Sederhanakan integrannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{1 + x}$ .

$V = \frac{3^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Langkah 2.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$V = \frac{9}{{(1 + x)}^{2}}$

Langkah 3

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $9$ keluar dari integral.

$V = π (9 \int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x)$

Langkah 4

Pindahkan $9$ ke sebelah kiri $π$ .

$V = 9 π \int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Langkah 5

Biarkan $u = 1 + x$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = 1 + x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Langkah 5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 5.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 5.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Langkah 5.3

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 5.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 3$

Langkah 5.5

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$u_{upper} = 4$

Langkah 5.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Langkah 5.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$V = 9 π \int_{1}^{4} \frac{1}{u^{2}} d u$

Langkah 6

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pindahkan $u^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$V = 9 π \int_{1}^{4} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Langkah 6.2

Kalikan eksponen dalam ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 9 π \int_{1}^{4} u^{2 \cdot - 1} d u$

Langkah 6.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$V = 9 π \int_{1}^{4} u^{- 2} d u$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- 2}$ terhadap $u$ adalah $- u^{- 1}$ .

$V = 9 π - u^{- 1}]_{1}^{4}$

Langkah 8

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi $- u^{- 1}$ pada $4$ dan pada $1$ .

$V = 9 π ((- 4^{- 1}) + 1^{- 1})$

Langkah 8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

Langkah 8.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + 1)$

Langkah 8.2.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

Langkah 8.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = 9 π (\frac{- 1 + 4}{4})$

Langkah 8.2.5

Tambahkan $- 1$ dan $4$ .

$V = 9 π (\frac{3}{4})$

Langkah 8.2.6

Gabungkan $\frac{3}{4}$ dan $9$ .

$V = \frac{3 \cdot 9}{4} \cdot π$

Langkah 8.2.7

Kalikan $3$ dengan $9$ .

$V = \frac{27}{4} \cdot π$

Langkah 8.2.8

Gabungkan $\frac{27}{4}$ dan $π$ .

$V = \frac{27 π}{4}$

Langkah 9

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$V = \frac{27 π}{4}$

Bentuk Desimal:

$V = 21.20575041 \dots$

Langkah 10