Kalkulus Contoh

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

Langkah 1

Tulis $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ sebagai fungsi.

$f (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) d x$

Langkah 4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ dan $d v = 1$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \int x \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Langkah 5

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \int \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Langkah 6

Biarkan $u = x^{2} + 1$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = x^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 6.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 6.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 6.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}} \cdot 2} d u$

Langkah 7.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \int \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

Langkah 9

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 9.2

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 9.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 9.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Langkah 11

Tulis kembali $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ sebagai $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - u^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 1$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 13

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ .

$F (x) =$ $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$