Kalkulus Contoh

$y - y^{2} + x + x^{2} = - 2 y^{3}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y - y^{2} + x + x^{2}) = \frac{d}{d x} (- 2 y^{3})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y - y^{2} + x + x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$y' - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$y' - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y' - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$y' - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$y' - (2 y y') + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y' - 2 y y' + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y' - 2 y y' + 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y' - 2 y y' + 1 + 2 x$

Langkah 2.4.3

Susun kembali suku-suku.

$- 2 y y' + 2 x + y' + 1$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 y^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$- 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$- 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.3

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$- 6 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$- 6 y^{2} y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$- 2 y y' + 2 x + y' + 1 = - 6 y^{2} y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tambahkan $6 y^{2} y'$ ke kedua sisi persamaan.

$- 2 y y' + 2 x + y' + 1 + 6 y^{2} y' = 0$

Langkah 5.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 y y' + y' + 1 + 6 y^{2} y' = - 2 x$

Langkah 5.2.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 y y' + y' + 6 y^{2} y' = - 2 x - 1$

Langkah 5.3

Faktorkan $y'$ dari $- 2 y y' + y' + 6 y^{2} y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $y'$ dari $- 2 y y'$ .

$y' (- 2 y) + y' + 6 y^{2} y' = - 2 x - 1$

Langkah 5.3.2

Naikkan $y'$ menjadi pangkat $1$ .

$y' (- 2 y) + y' + 6 y^{2} y' = - 2 x - 1$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $y'$ dari ${y'}^{1}$ .

$y' (- 2 y) + y' \cdot 1 + 6 y^{2} y' = - 2 x - 1$

Langkah 5.3.4

Faktorkan $y'$ dari $6 y^{2} y'$ .

$y' (- 2 y) + y' \cdot 1 + y' (6 y^{2}) = - 2 x - 1$

Langkah 5.3.5

Faktorkan $y'$ dari $y' (- 2 y) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 2 y + 1) + y' (6 y^{2}) = - 2 x - 1$

Langkah 5.3.6

Faktorkan $y'$ dari $y' (- 2 y + 1) + y' (6 y^{2})$ .

$y' (- 2 y + 1 + 6 y^{2}) = - 2 x - 1$

Langkah 5.4

Susun kembali suku-suku.

$y' (6 y^{2} - 2 y + 1) = - 2 x - 1$

Langkah 5.5

Bagi setiap suku pada $y' (6 y^{2} - 2 y + 1) = - 2 x - 1$ dengan $6 y^{2} - 2 y + 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Bagilah setiap suku di $y' (6 y^{2} - 2 y + 1) = - 2 x - 1$ dengan $6 y^{2} - 2 y + 1$ .

$\frac{y' (6 y^{2} - 2 y + 1)}{6 y^{2} - 2 y + 1} = \frac{- 2 x}{6 y^{2} - 2 y + 1} + \frac{- 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6 y^{2} - 2 y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (6 y^{2} - 2 y + 1)}{6 y^{2} - 2 y + 1} = \frac{- 2 x}{6 y^{2} - 2 y + 1} + \frac{- 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Langkah 5.5.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{6 y^{2} - 2 y + 1} + \frac{- 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 2 x - 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Langkah 5.5.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Langkah 5.5.3.3

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (1)}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Langkah 5.5.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 1)}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Langkah 5.5.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.5.1

Tulis kembali $- (2 x + 1)$ sebagai $- 1 (2 x + 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + 1)}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Langkah 5.5.3.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{2 x + 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$