Kalkulus Contoh

$y = \sqrt{2^{x} + 2 e^{x}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2^{x} + 2 e^{x}}$ sebagai ${(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 3

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 2^{x} + 2 e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2^{x} + 2 e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Langkah 4.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2^{x} + 2 e^{x}$ .

$\frac{1}{2} {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Langkah 4.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Langkah 4.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Langkah 4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Langkah 4.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Langkah 4.5.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Langkah 4.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Penjumlahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(2^{x} + 2 e^{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Langkah 4.6.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(2^{x} + 2 e^{x})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{x} + 2 e^{x})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Langkah 4.6.2.2

Pindahkan ${(2^{x} + 2 e^{x})}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Langkah 4.6.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2^{x} + 2 e^{x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

$\frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}])$

Langkah 4.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $2$ .

$\frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (2^{x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}])$

Langkah 4.8

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 e^{x}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (2^{x} \ln (2) + 2 \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Langkah 4.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (2^{x} \ln (2) + 2 e^{x})$

Langkah 4.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.1

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (2^{x} \ln (2) + 2 e^{x})$ .

$(2^{x} \ln (2) + 2 e^{x}) \frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.10.2

Kalikan $2^{x} \ln (2) + 2 e^{x}$ dengan $\frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2^{x} \ln (2) + 2 e^{x}}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{2^{x} \ln (2) + 2 e^{x}}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2^{x} \ln (2) + 2 e^{x}}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$