Kalkulus Contoh

$e^{x} \cdot \sin (x)$

Langkah 1

Tulis $e^{x} \cdot \sin (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = e^{x} \cdot \sin (x)$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int e^{x} \cdot \sin (x) d x$

Langkah 4

Susun kembali $e^{x}$ dan $\sin (x)$ .

$\int \sin (x) \cdot e^{x} d x$

Langkah 5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \sin (x)$ dan $d v = e^{x}$ .

$\sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

Langkah 6

Susun kembali $e^{x}$ dan $\cos (x)$ .

$\sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x$

Langkah 7

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \cos (x)$ dan $d v = e^{x}$ .

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x)$

Langkah 8

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Langkah 9

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Langkah 9.2

Kalikan $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ dengan $1$ .

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Langkah 9.3

Terapkan sifat distributif.

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Langkah 10

Ketika menyelesaikan $\int e^{x} \cdot \sin (x) d x$ , kami menemukan bahwa $\int e^{x} \cdot \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C$

Langkah 11

Tulis kembali $\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C$ sebagai $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$

Langkah 12

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = e^{x} \cdot \sin (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$