Kalkulus Contoh

\int_{1}^{e} \frac{x^{2} + 1}{x} d x

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Langkah 1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Langkah 3

Hapus faktor persekutuan dari

x^{2}

$x^{2}$ dan

x

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan

x

$x$ dari

x^{2}

$x^{2}$ .

\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Naikkan

x

$x$ menjadi pangkat

1

$1$ .

\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.2.2

Faktorkan

x

$x$ dari

x^{1}

$x^{1}$ .

\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

\int_{1}^{e} \frac{x}{1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x

$\int_{1}^{e} \frac{x}{1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.2.5

Bagilah

x

$x$ dengan

1

$1$ .

\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari

x

$x$ terhadap

x

$x$ adalah

\frac{1}{2} x^{2}

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Langkah 5

Integral dari

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ terhadap

x

$x$ adalah

ln (| x |)

$\ln (| x |)$ .

\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + ln (| x |)]_{1}^{e}

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \ln (| x |)]_{1}^{e}$

Langkah 6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan

\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}$ dan

ln (| x |)]_{1}^{e}

$\ln (| x |)]_{1}^{e}$ .

\frac{1}{2} x^{2} + ln (| x |)]_{1}^{e}

$\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)]_{1}^{e}$

Langkah 6.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Evaluasi

\frac{1}{2} x^{2} + ln (| x |)

$\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)$ pada

e

$e$ dan pada

1

$1$ .

(\frac{1}{2} e^{2} + ln (| e |)) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + ln (| 1 |))

$(\frac{1}{2} e^{2} + \ln (| e |)) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |))$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Gabungkan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ dan

e^{2}

$e^{2}$ .

\frac{e^{2}}{2} + ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + ln (| 1 |))

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |))$

Langkah 6.2.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

\frac{e^{2}}{2} + ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 1 + ln (| 1 |))

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 1 + \ln (| 1 |))$

Langkah 6.2.2.3

Kalikan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ dengan

1

$1$ .

\frac{e^{2}}{2} + ln (| e |) - (\frac{1}{2} + ln (| 1 |))

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$

Langkah 6.2.2.4

Untuk menuliskan

- (\frac{1}{2} + ln (| 1 |))

$- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{e^{2}}{2} - (\frac{1}{2} + ln (| 1 |)) \cdot \frac{2}{2} + ln (| e |)

$\frac{e^{2}}{2} - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot \frac{2}{2} + \ln (| e |)$

Langkah 6.2.2.5

Gabungkan

- (\frac{1}{2} + ln (| 1 |))

$- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$ dan

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{e^{2}}{2} + \frac{- (\frac{1}{2} + ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} + ln (| e |)

$\frac{e^{2}}{2} + \frac{- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} + \ln (| e |)$

Langkah 6.2.2.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

\frac{e^{2} - (\frac{1}{2} + ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} + ln (| e |)

$\frac{e^{2} - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} + \ln (| e |)$

Langkah 6.2.2.7

Kalikan

2

$2$ dengan

- 1

$- 1$ .

\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + ln (| 1 |))}{2} + ln (| e |)

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))}{2} + \ln (| e |)$

\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + ln (| 1 |))}{2} + ln (| e |)

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))}{2} + \ln (| e |)$

\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + ln (| 1 |))}{2} + ln (| e |)

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))}{2} + \ln (| e |)$

\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + ln (| 1 |))}{2} + ln (| e |)

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))}{2} + \ln (| e |)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara

0

$0$ dan

1

$1$ adalah

1

$1$ .

\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + ln (1))}{2} + ln (| e |)

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + \ln (1))}{2} + \ln (| e |)$

Langkah 7.1.1.1.2

Log alami dari

1

$1$ adalah

0

$0$ .

\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + 0)}{2} + ln (| e |)

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + 0)}{2} + \ln (| e |)$

\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + 0)}{2} + ln (| e |)

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + 0)}{2} + \ln (| e |)$

Langkah 7.1.1.2

Tambahkan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ dan

0

$0$ .

\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2})}{2} + ln (| e |)

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2})}{2} + \ln (| e |)$

Langkah 7.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari

2

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.1

Faktorkan

2

$2$ dari

- 2

$- 2$ .

\frac{e^{2} + 2 (- 1) \frac{1}{2}}{2} + ln (| e |)

$\frac{e^{2} + 2 (- 1) \frac{1}{2}}{2} + \ln (| e |)$

Langkah 7.1.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

\frac{e^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{2} + ln (| e |)

$\frac{e^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{2} + \ln (| e |)$

Langkah 7.1.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

\frac{e^{2} - 1}{2} + ln (| e |)

$\frac{e^{2} - 1}{2} + \ln (| e |)$

\frac{e^{2} - 1}{2} + ln (| e |)

$\frac{e^{2} - 1}{2} + \ln (| e |)$

Langkah 7.1.1.4

Tulis kembali

e^{2} - 1

$e^{2} - 1$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.4.1

Tulis kembali

1

$1$ sebagai

1^{2}

$1^{2}$ .

\frac{e^{2} - 1^{2}}{2} + ln (| e |)

$\frac{e^{2} - 1^{2}}{2} + \ln (| e |)$

Langkah 7.1.1.4.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana

a = e

$a = e$ dan

b = 1

$b = 1$ .

\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + ln (| e |)

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \ln (| e |)$

\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + ln (| e |)

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \ln (| e |)$

\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + ln (| e |)

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \ln (| e |)$

Langkah 7.1.2

e

$e$ mendekati

2.71828182

$2.71828182$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + ln (e)

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \ln (e)$

Langkah 7.1.3

Log alami dari

e

$e$ adalah

1

$1$ .

\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + 1

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + 1$

\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + 1

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + 1$

Langkah 7.2

Tuliskan

1

$1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \frac{2}{2}

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \frac{2}{2}$

Langkah 7.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

\frac{(e + 1) (e - 1) + 2}{2}

$\frac{(e + 1) (e - 1) + 2}{2}$

Langkah 7.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Perluas

(e + 1) (e - 1)

$(e + 1) (e - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.1

Terapkan sifat distributif.

\frac{e (e - 1) + 1 (e - 1) + 2}{2}

$\frac{e (e - 1) + 1 (e - 1) + 2}{2}$

Langkah 7.4.1.2

Terapkan sifat distributif.

\frac{e e + e \cdot - 1 + 1 (e - 1) + 2}{2}

$\frac{e e + e \cdot - 1 + 1 (e - 1) + 2}{2}$

Langkah 7.4.1.3

Terapkan sifat distributif.

\frac{e e + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}

$\frac{e e + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

\frac{e e + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}

$\frac{e e + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Langkah 7.4.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1.1

Pindahkan

- 1

$- 1$ ke sebelah kiri

e

$e$ .

\frac{e e - 1 \cdot e + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}

$\frac{e e - 1 \cdot e + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Langkah 7.4.2.1.2

Tulis kembali

- 1 e

$- 1 e$ sebagai

- e

$- e$ .

\frac{e e - e + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}

$\frac{e e - e + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Langkah 7.4.2.1.3

Kalikan

e

$e$ dengan

1

$1$ .

\frac{e e - e + e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}

$\frac{e e - e + e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Langkah 7.4.2.1.4

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

1

$1$ .

\frac{e e - e + e - 1 + 2}{2}

$\frac{e e - e + e - 1 + 2}{2}$

\frac{e e - e + e - 1 + 2}{2}

$\frac{e e - e + e - 1 + 2}{2}$

Langkah 7.4.2.2

Tambahkan

- e

$- e$ dan

e

$e$ .

\frac{e e + 0 - 1 + 2}{2}

$\frac{e e + 0 - 1 + 2}{2}$

Langkah 7.4.2.3

Tambahkan

e e

$e e$ dan

0

$0$ .

\frac{e e - 1 + 2}{2}

$\frac{e e - 1 + 2}{2}$

\frac{e e - 1 + 2}{2}

$\frac{e e - 1 + 2}{2}$

Langkah 7.4.3

Tambahkan

- 1

$- 1$ dan

2

$2$ .

\frac{e e + 1}{2}

$\frac{e e + 1}{2}$

Langkah 7.4.4

Kalikan

e e

$e e$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.4.1

Naikkan

e

$e$ menjadi pangkat

1

$1$ .

\frac{e^{1} e + 1}{2}

$\frac{e^{1} e + 1}{2}$

Langkah 7.4.4.2

Naikkan

e

$e$ menjadi pangkat

1

$1$ .

\frac{e^{1} e^{1} + 1}{2}

$\frac{e^{1} e^{1} + 1}{2}$

Langkah 7.4.4.3

Gunakan kaidah pangkat

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

\frac{e^{1 + 1} + 1}{2}

$\frac{e^{1 + 1} + 1}{2}$

Langkah 7.4.4.4

Tambahkan

1

$1$ dan

1

$1$ .

\frac{e^{2} + 1}{2}

$\frac{e^{2} + 1}{2}$

\frac{e^{2} + 1}{2}

$\frac{e^{2} + 1}{2}$

\frac{e^{2} + 1}{2}

$\frac{e^{2} + 1}{2}$

\frac{e^{2} + 1}{2}

$\frac{e^{2} + 1}{2}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

\frac{e^{2} + 1}{2}

$\frac{e^{2} + 1}{2}$

Bentuk Desimal:

4.19452804 \dots

$4.19452804 \dots$

Langkah 9