Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 1} \frac{4 \ln (3 x - 2)}{2 - 2 x^{2}}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 1} 4 \ln (3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Pindahkan suku $4$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 1} \ln (3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Langkah 1.2.1.2

Pindahkan limit ke dalam logaritma.

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 1} 3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Langkah 1.2.1.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $1$ .

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Langkah 1.2.1.4

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{4 \ln (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Langkah 1.2.1.5

Evaluasi limit dari $2$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $1$ .

$\frac{4 \ln (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Langkah 1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{4 \ln (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{4 \ln (3 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Langkah 1.2.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{4 \ln (3 - 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Langkah 1.2.3.2

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$\frac{4 \ln (1)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Langkah 1.2.3.3

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Langkah 1.2.3.4

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 2 - lim_{x \to 1} 2 x^{2}}$

Langkah 1.3.1.2

Evaluasi limit dari $2$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $1$ .

$\frac{0}{2 - lim_{x \to 1} 2 x^{2}}$

Langkah 1.3.1.3

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{2 - 2 lim_{x \to 1} x^{2}}$

Langkah 1.3.1.4

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{0}{2 - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Langkah 1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{2 - 2 \cdot 1^{2}}$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{0}{2 - 2 \cdot 1}$

Langkah 1.3.3.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Langkah 1.3.3.2

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 1} \frac{4 \ln (3 x - 2)}{2 - 2 x^{2}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Langkah 3.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 \ln (3 x - 2)$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 2)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 3 x - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x - 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Langkah 3.3.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Langkah 3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x - 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\frac{1}{3 x - 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Langkah 3.4

Gabungkan $\frac{1}{3 x - 2}$ dan $4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Langkah 3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x - 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Langkah 3.6

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Langkah 3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Langkah 3.8

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Langkah 3.9

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Langkah 3.10

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Langkah 3.11

Gabungkan $\frac{4}{3 x - 2}$ dan $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 \cdot 3}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Langkah 3.12

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Langkah 3.13

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 - 2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]}$

Langkah 3.14

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]}$

Langkah 3.15

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.15.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.15.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{0 - 2 (2 x)}$

Langkah 3.15.3

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{0 - 4 x}$

Langkah 3.16

Kurangi $4 x$ dengan $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{- 4 x}$

Langkah 4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to 1} \frac{12}{3 x - 2} \cdot \frac{1}{- 4 x}$

Langkah 5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $\frac{12}{3 x - 2}$ dengan $\frac{1}{- 4 x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{12}{(3 x - 2) (- 4 x)}$

Langkah 5.2

Hapus faktor persekutuan dari $12$ dan $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (3)}{(3 x - 2) (- 4 x)}$

Langkah 5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $(3 x - 2) (- 4 x)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (3)}{4 ((3 x - 2) (- x))}$

Langkah 5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cdot 3}{4 ((3 x - 2) (- x))}$

Langkah 5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 1} \frac{3}{(3 x - 2) (- x)}$

Langkah 6

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$3 lim_{x \to 1} \frac{1}{(3 x - 2) (- x)}$

Langkah 7

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $1$ .

$3 \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} (3 x - 2) \cdot - 1 x}$

Langkah 8

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $1$ .

$3 \frac{1}{lim_{x \to 1} (3 x - 2) \cdot - 1 x}$

Langkah 9

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$3 \frac{1}{- lim_{x \to 1} (3 x - 2) x}$

Langkah 10

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $1$ .

$3 \frac{1}{- lim_{x \to 1} 3 x - 2 \cdot lim_{x \to 1} x}$

Langkah 11

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $1$ .

$3 \frac{1}{- (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Langkah 12

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$3 \frac{1}{- (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Langkah 13

Evaluasi limit dari $2$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $1$ .

$3 \frac{1}{- (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Langkah 14

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $1$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$3 \frac{1}{- (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Langkah 14.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$3 \frac{1}{- (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

Langkah 15

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{1}{- (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

Langkah 15.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3 \frac{1}{- (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

Langkah 15.2

Hapus faktor persekutuan dari $1$ dan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$3 \frac{- 1 (- 1)}{- (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

Langkah 15.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$3 (- \frac{1}{3 - 1 \cdot 2})$

Langkah 15.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$3 (- \frac{1}{3 - 2})$

Langkah 15.3.2

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$3 (- \frac{1}{1})$

Langkah 15.4

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 (- \frac{1}{1})$

Langkah 15.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 15.5

Kalikan $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$3 \cdot - 1$

Langkah 15.5.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- 3$