Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{8 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Langkah 1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $8$ keluar dari integral.

$8 \int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u = 1 - 4 x^{2}$ . Kemudian $d u = - 8 x d x$ sehingga $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = 1 - 4 x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $1 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x^{2}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - 4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Langkah 2.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$0 - 8 x$

Langkah 2.1.4

Kurangi $8 x$ dengan $0$ .

$- 8 x$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 1 - 4 x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0^{2}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 1 - 4 x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 4 {(\frac{1}{4})}^{2}$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{4}$ .

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1^{2}}{4^{2}}$

Langkah 2.5.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1}{4^{2}}$

Langkah 2.5.1.3

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{upper} = 1 - 4 (\frac{1}{16})$

Langkah 2.5.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$u_{upper} = 1 + 4 (- 1) \frac{1}{16}$

Langkah 2.5.1.4.2

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

Langkah 2.5.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

Langkah 2.5.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = 1 - 1 (\frac{1}{4})$

Langkah 2.5.1.5

Tulis kembali $- 1 (\frac{1}{4})$ sebagai $- (\frac{1}{4})$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{4}$

Langkah 2.5.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$u_{upper} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Langkah 2.5.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$u_{upper} = \frac{4 - 1}{4}$

Langkah 2.5.4

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{8}) d u$

Langkah 3.2

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{8}$ .

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 8} d u$

Langkah 3.3

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $\sqrt{u}$ .

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Langkah 4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$8 (- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u)$

Langkah 5

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$- 8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{8}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{8}$ keluar dari integral.

$- 8 (\frac{1}{8} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Langkah 7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Gabungkan $\frac{1}{8}$ dan $- 8$ .

$\frac{- 8}{8} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 7.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 8$ dan $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1

Faktorkan $8$ dari $- 8$ .

$\frac{8 \cdot - 1}{8} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 7.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.2.1

Faktorkan $8$ dari $8$ .

$\frac{8 \cdot - 1}{8 (1)} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 7.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 1} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 7.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{1} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 7.1.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 7.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 7.2.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 7.2.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 7.2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 7.2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}})$

Langkah 9

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Evaluasi $2 u^{\frac{1}{2}}$ pada $\frac{3}{4}$ dan pada $1$ .

$- ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 9.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1)$

Langkah 9.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{4}$ .

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}} - 2)$

Langkah 10.1.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.2.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2)$

Langkah 10.1.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)$

Langkah 10.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)$

Langkah 10.1.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{1}} - 2)$

Langkah 10.1.2.4

Evaluasi eksponennya.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)$

Langkah 10.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)$

Langkah 10.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- (3^{\frac{1}{2}} - 2)$

Langkah 10.2

Terapkan sifat distributif.

$- 3^{\frac{1}{2}} - - 2$

Langkah 10.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$- 3^{\frac{1}{2}} + 2$

Langkah 11

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- 3^{\frac{1}{2}} + 2$

Bentuk Desimal:

$0.26794919 \dots$

Langkah 12