Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2} - 1$ dan $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.2.4

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Langkah 1.8

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1)}{x^{2}}$

Langkah 1.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.9.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 1}{x^{2}}$

Langkah 1.9.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.9.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 1}{x^{2}}$

Langkah 1.9.2.2

Kurangi $x^{2}$ dengan $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.2.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.2.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Pindahkan $x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.3.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.3.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot x^{3} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - (x^{2} + 1) (2 x)}{x^{4}}$

Langkah 2.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x}{x^{4}}$

Langkah 2.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{x^{4}}$

Langkah 2.7.2

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

Langkah 2.7.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.3.1.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.3.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

Langkah 2.7.3.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.3.1.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

Langkah 2.7.3.1.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

Langkah 2.7.3.1.1.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

Langkah 2.7.3.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x}{x^{4}}$

Langkah 2.7.3.2

Kurangi $2 x^{3}$ dengan $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{0 - 2 x}{x^{4}}$

Langkah 2.7.3.3

Kurangi $2 x$ dengan $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x}{x^{4}}$

Langkah 2.7.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.4.1

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.4.1.1

Faktorkan $x$ dari $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 2}{x^{4}}$

Langkah 2.7.4.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.4.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

Langkah 2.7.4.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

Langkah 2.7.4.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = \frac{- 2}{x^{3}}$

Langkah 2.7.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} = 0$

Langkah 4

Karena tidak ada nilai dari $x$ yang membuat turunan pertama sama dengan $0$ , maka tidak ada ekstrem lokal.

Tidak Ada Ekstrem Lokal

Langkah 5

Tidak Ada Ekstrem Lokal

Langkah 6