Kalkulus Contoh

$y = x^{5 \sin (x)}$

Langkah 1

Biarkan $y = f (x)$ , ambil logaritma alami dari kedua ruas $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{5 \sin (x)})$

Langkah 2

Perluas $\ln (x^{5 \sin (x)})$ dengan memindahkan $5 \sin (x)$ ke luar logaritma.

$\ln (y) = 5 \sin (x) \ln (x)$

Langkah 3

Diferensialkan persamaan menggunakan kaidah rantai, dengan menganggap $y$ adalah fungsi dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan ruas bagian kiri $\ln (y)$ menggunakan kaidah rantai.

$\frac{y'}{y} = 5 \sin (x) \ln (x)$

Langkah 3.2

Diferensialkan ruas bagian kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan $5 \sin (x) \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [5 \sin (x) \ln (x)]$

Langkah 3.2.2

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 \sin (x) \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$ .

$\frac{y'}{y} = 5 \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Langkah 3.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = 5 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Langkah 3.2.4

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 5 (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Langkah 3.2.5

Gabungkan $\sin (x)$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 5 (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Langkah 3.2.6

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = 5 (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x))$

Langkah 3.2.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y'}{y} = 5 \frac{\sin (x)}{x} + 5 (\ln (x) \cos (x))$

Langkah 3.2.7.2

Gabungkan $5$ dan $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5 \sin (x)}{x} + 5 \ln (x) \cos (x)$

Langkah 3.2.7.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{y'}{y} = 5 \cos (x) \ln (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}$

Langkah 4

Isolasikan $y'$ dan substitusikan fungsi asli untuk $y$ di sisi kanan.

$y' = (5 \cos (x) \ln (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}) x^{5 \sin (x)}$

Langkah 5

Sederhanakan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $5 \cos (x) \ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Susun kembali $\ln (x)$ dan $5$ .

$y' = (5 \cdot \ln (x) \cos (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}) x^{5 \sin (x)}$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan $5 \cdot \ln (x)$ dengan memindahkan $5$ ke dalam logaritma.

$y' = (\ln (x^{5}) \cos (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}) x^{5 \sin (x)}$

Langkah 5.2

Terapkan sifat distributif.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{5 \sin (x)}{x} x^{5 \sin (x)}$

Langkah 5.3

Gabungkan $\frac{5 \sin (x)}{x}$ dan $x^{5 \sin (x)}$ .

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{5 \sin (x) x^{5 \sin (x)}}{x}$

Langkah 5.4

Hapus faktor persekutuan dari $x^{5 \sin (x)}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $x$ dari $5 \sin (x) x^{5 \sin (x)}$ .

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x}$

Langkah 5.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x^{1}}$

Langkah 5.4.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Langkah 5.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Langkah 5.4.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}}{1}$

Langkah 5.4.2.5

Bagilah $5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}$ dengan $1$ .

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + 5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}$

Langkah 5.5

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + 5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}$ .

$y' = x^{5 \sin (x)} \ln (x^{5}) \cos (x) + 5 x^{5 \sin (x) - 1} \sin (x)$