Kalkulus Contoh

$\int 2 x {(2 x + 3)}^{2} d x$

Langkah 1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int x {(2 x + 3)}^{2} d x$

Langkah 2

Biarkan $u = 2 x + 3$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = 2 x + 3$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Langkah 2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 2.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 2.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$2 \int (\frac{u}{2} - \frac{3}{2}) u^{2} \frac{1}{2} d u$

Langkah 3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $u^{2}$ .

$2 \int (\frac{u}{2} - \frac{3}{2}) \frac{u^{2}}{2} d u$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan sifat distributif.

$2 \int \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Langkah 4.2

Kalikan $\frac{u}{2}$ dengan $\frac{u^{2}}{2}$ .

$2 \int \frac{u \cdot u^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Langkah 4.3

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$2 \int \frac{u^{1} u^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Langkah 4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 \int \frac{u^{1 + 2}}{2 \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Langkah 4.5

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$2 \int \frac{u^{3}}{2 \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Langkah 4.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$2 \int \frac{u^{3}}{4} - \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Langkah 4.7

Gabungkan $- \frac{3}{2}$ dan $\frac{u^{2}}{2}$ .

$2 \int \frac{u^{3}}{4} - \frac{3 u^{2}}{2 \cdot 2} d u$

Langkah 4.8

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$2 \int \frac{u^{3}}{4} - \frac{3 u^{2}}{4} d u$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$2 (\int \frac{u^{3}}{4} d u + \int - \frac{3 u^{2}}{4} d u)$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$2 (\frac{1}{4} \int u^{3} d u + \int - \frac{3 u^{2}}{4} d u)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{3}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int - \frac{3 u^{2}}{4} d u)$

Langkah 8

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $u^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \int - \frac{3 u^{2}}{4} d u)$

Langkah 9

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \int \frac{3 u^{2}}{4} d u)$

Langkah 10

Karena $\frac{3}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{3}{4}$ keluar dari integral.

$2 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) - (\frac{3}{4} \int u^{2} d u))$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $u^{3}$ .

$2 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{3}{4} (\frac{u^{3}}{3} + C))$

Langkah 12.2

Sederhanakan.

$2 (\frac{u^{4}}{16} - \frac{u^{3}}{4}) + C$

Langkah 13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x + 3$ .

$2 (\frac{{(2 x + 3)}^{4}}{16} - \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{4}) + C$

Langkah 14

Susun kembali suku-suku.

$2 (\frac{1}{16} {(2 x + 3)}^{4} - \frac{1}{4} {(2 x + 3)}^{3}) + C$