Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{\infty} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$

Langkah 1

Tulis integral sebagai limit ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u = 1 + x^{2}$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = 1 + x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Langkah 2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Langkah 2.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 x$ .

$2 x$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 1^{2}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{lower} = 1 + 1$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$u_{lower} = 2$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

Langkah 2.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

Langkah 2.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan $\frac{1}{u^{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

Langkah 3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{1 + t^{2}} \frac{1}{2 u^{2}} d u$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{2}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2}} d u$

Langkah 5

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan $u^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{2}^{1 + t^{2}} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Langkah 5.2

Kalikan eksponen dalam ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{2}^{1 + t^{2}} u^{2 \cdot - 1} d u$

Langkah 5.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{2}^{1 + t^{2}} u^{- 2} d u$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- 2}$ terhadap $u$ adalah $- u^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} - u^{- 1}]_{2}^{1 + t^{2}}$

Langkah 7

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- u^{- 1}]_{2}^{1 + t^{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- u^{- 1}]_{2}^{1 + t^{2}}}{2}$

Langkah 8

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi $- u^{- 1}$ pada $1 + t^{2}$ dan pada $2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(- {(1 + t^{2})}^{- 1}) + 2^{- 1}}{2}$

Langkah 8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} + \frac{1}{2}}{2}$

Langkah 8.2.2

Untuk menuliskan $- {(1 + t^{2})}^{- 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}{2}$

Langkah 8.2.3

Gabungkan $- {(1 + t^{2})}^{- 1}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}{2}$

Langkah 8.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} \cdot 2 + 1}{2}}{2}$

Langkah 8.2.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2}}{2}$

Langkah 8.2.6

Tulis kembali $\frac{\frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2}}{2}$ sebagai hasil kali.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 8.2.7

Kalikan $\frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2 \cdot 2}$

Langkah 8.2.8

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{4}$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1}) + 1}{4}$

Langkah 9.2

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1}) - 1 (- 1)}{4}$

Langkah 9.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)}{4}$

Langkah 9.4

Tulis kembali $- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)$ sebagai $- 1 (2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)}{4}$

Langkah 9.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{t \to \infty} - \frac{2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1}{4}$

Langkah 10

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1}{4}$

Langkah 10.2

Pindahkan suku $\frac{1}{4}$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to \infty} 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1$

Langkah 10.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$- \frac{1}{4} (lim_{t \to \infty} 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

Langkah 10.4

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

Langkah 10.5

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{1 + t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1)$

Langkah 10.6

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{1 + t^{2}}$ mendekati $0$ .

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Langkah 10.7

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.7.1

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 - 1 \cdot 1)$

Langkah 10.7.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.7.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{4} (0 - 1 \cdot 1)$

Langkah 10.7.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{4} (0 - 1)$

Langkah 10.7.2.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$

Langkah 10.7.2.3

Kalikan $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.7.2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4})$

Langkah 10.7.2.3.2

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4}$

Langkah 11

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1}{4}$

Bentuk Desimal:

$0.25$