Kalkulus Contoh

$y = {(\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3})}^{2}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 3 x - 1$ dan $g (x) = x^{2} + 3$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 3.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 3.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 3.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) (3 + 0) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) \cdot 3 - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 3.6.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x^{2} + 3$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 \cdot (x^{2} + 3) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 3.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 3.9

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 3.10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 3.10.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan sifat distributif.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 4.2

Terapkan sifat distributif.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 + (- 2 (3 x) - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 4.3

Terapkan sifat distributif.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 4.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1.1

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 9 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 4.4.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 9 - 2 (3 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 4.4.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 4.4.1.3

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 9 - 6 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 4.4.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 9 - 6 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 4.4.2

Kurangi $6 x^{2}$ dengan $3 x^{2}$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- 3 x^{2} + 9 + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 4.5

Susun kembali suku-suku.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- 3 x^{2} + 2 x + 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 4.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 x^{2}$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- (3 x^{2}) + 2 x + 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 4.7

Faktorkan $- 1$ dari $2 x$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 4.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- (3 x^{2} - 2 x) + 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 4.9

Tulis kembali $9$ sebagai $- 1 (- 9)$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 9)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 4.10

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 9)$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- (3 x^{2} - 2 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 4.11

Tulis kembali $- (3 x^{2} - 2 x - 9)$ sebagai $- 1 (3 x^{2} - 2 x - 9)$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- 1 (3 x^{2} - 2 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 4.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} (- \frac{3 x^{2} - 2 x - 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}})$

Langkah 5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} (- \frac{3 x^{2} - 2 x - 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}})$

Langkah 5.2

Kalikan $\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3}$ dengan $\frac{3 x^{2} - 2 x - 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (3 x - 1) (3 x^{2} - 2 x - 9)}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 5.3

Kalikan $x^{2} + 3$ dengan ${(x^{2} + 3)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan $x^{2} + 3$ dengan ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Naikkan $x^{2} + 3$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{2 (3 x - 1) (3 x^{2} - 2 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{1} {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{2 (3 x - 1) (3 x^{2} - 2 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{1 + 2}}$

Langkah 5.3.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$- \frac{2 (3 x - 1) (3 x^{2} - 2 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$