Kalkulus Contoh

$\frac{x (2 + x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 1

Tulis $\frac{x (2 + x)}{{(x + 1)}^{2}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{x (2 + x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{x (2 + x)}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Langkah 4

Terapkan sifat distributif.

$\int \frac{x \cdot 2 + x \cdot x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Langkah 5

Susun kembali $x$ dan $2$ .

$\int \frac{2 \cdot x + x \cdot x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Langkah 6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \frac{2 x + x^{1} x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Langkah 7

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \frac{2 x + x^{1} x^{1}}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Langkah 8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int \frac{2 x + x^{1 + 1}}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Langkah 9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int \frac{2 x + x^{2}}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Langkah 9.2

Susun kembali $2 x$ dan $x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Langkah 9.3

Tulis kembali ${(x + 1)}^{2}$ sebagai $(x + 1) (x + 1)$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{(x + 1) (x + 1)} d x$

Langkah 10

Terapkan sifat distributif.

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x (x + 1) + 1 (x + 1)} d x$

Langkah 11

Terapkan sifat distributif.

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)} d x$

Langkah 12

Terapkan sifat distributif.

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Langkah 13

Susun kembali $x$ dan $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x \cdot x + 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Langkah 14

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{1} x + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Langkah 15

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{1} x^{1} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Langkah 16

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{1 + 1} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Langkah 17

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Langkah 17.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Langkah 17.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1} d x$

Langkah 17.4

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + x + x + 1} d x$

Langkah 18

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Langkah 19

Bagilah $x^{2} + 2 x$ dengan $x^{2} + 2 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

Langkah 19.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$

Langkah 19.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

						$1$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$

Langkah 19.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{2} + 2 x + 1$

						$1$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$

Langkah 19.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

						$1$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
									-	$1$

Langkah 19.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int 1 - \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Langkah 20

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Langkah 21

Terapkan aturan konstanta.

$x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Langkah 22

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Langkah 23

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.1.1

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.1.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

Langkah 23.1.1.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Langkah 23.1.1.3

Tulis kembali polinomialnya.

$\frac{1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Langkah 23.1.1.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 23.1.2

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. karena faktor pada penyebutnya linear, letakkan sebuah variabel di tempat $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 23.1.3

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Langkah 23.1.4

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Langkah 23.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x + 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Langkah 23.1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Langkah 23.1.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x + 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.1.6.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = \frac{A {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Langkah 23.1.6.1.2

Bagilah $A$ dengan $1$ .

$1 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Langkah 23.1.6.2

Hapus faktor persekutuan dari ${(x + 1)}^{2}$ dan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.1.6.2.1

Faktorkan $x + 1$ dari $(B) {(x + 1)}^{2}$ .

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 23.1.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.1.6.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Langkah 23.1.6.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Langkah 23.1.6.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = A + \frac{B (x + 1)}{1}$

Langkah 23.1.6.2.2.4

Bagilah $B (x + 1)$ dengan $1$ .

$1 = A + B (x + 1)$

Langkah 23.1.6.3

Terapkan sifat distributif.

$1 = A + B x + B \cdot 1$

Langkah 23.1.6.4

Kalikan $B$ dengan $1$ .

$1 = A + B x + B$

Langkah 23.1.7

Susun kembali $A$ dan $B x$ .

$1 = B x + A + B$

Langkah 23.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = B$

Langkah 23.2.2

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $x$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = A + B$

Langkah 23.2.3

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$0 = B$

$1 = A + B$

$0 = B$

$1 = A + B$

Langkah 23.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $B = 0$ .

$B = 0$

$1 = A + B$

Langkah 23.3.2

Substitusikan semua kemunculan $B$ dengan $0$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.3.2.1

Substitusikan semua kemunculan $B$ dalam $1 = A + B$ dengan $0$ .

$1 = A + 0$

$B = 0$

Langkah 23.3.2.2

Sederhanakan $1 = A + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.3.2.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.3.2.2.1.1

Hilangkan tanda kurung.

$1 = A + 0$

$B = 0$

$1 = A + 0$

$B = 0$

Langkah 23.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.3.2.2.2.1

Tambahkan $A$ dan $0$ .

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

Langkah 23.3.3

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A = 1$ .

$A = 1$

$B = 0$

Langkah 23.3.4

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

$A = 1 B = 0$

Langkah 23.3.5

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$A = 1, B = 0$

Langkah 23.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ dan $B$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Langkah 23.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.5.1

Bagilah $0$ dengan $x + 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + 0$

Langkah 23.5.2

Hilangkan nol dari pernyataan tersebut.

$x + C - \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Langkah 24

Biarkan $u = x + 1$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.1

Biarkan $u = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 24.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 24.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 24.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 24.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 24.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$x + C - \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Langkah 25

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.1

Pindahkan $u^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$x + C - \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Langkah 25.2

Kalikan eksponen dalam ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + C - \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Langkah 25.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$x + C - \int u^{- 2} d u$

Langkah 26

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- 2}$ terhadap $u$ adalah $- u^{- 1}$ .

$x + C - (- u^{- 1} + C)$

Langkah 27

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.1

Sederhanakan.

$x - - \frac{1}{u} + C$

Langkah 27.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$x + 1 \frac{1}{u} + C$

Langkah 27.2.2

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $1$ .

$x + \frac{1}{u} + C$

Langkah 28

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$x + \frac{1}{x + 1} + C$

Langkah 29

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{x (2 + x)}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $x + \frac{1}{x + 1} + C$