Kalkulus Contoh

$\int \frac{1}{5 + 2 x^{6}} (12 x^{5}) d x$

Langkah 1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gabungkan $12$ dan $\frac{1}{5 + 2 x^{6}}$ .

$\int \frac{12}{5 + 2 x^{6}} \cdot x^{5} d x$

Langkah 1.2

Gabungkan $\frac{12}{5 + 2 x^{6}}$ dan $x^{5}$ .

$\int \frac{12 x^{5}}{5 + 2 x^{6}} d x$

Langkah 2

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $12$ keluar dari integral.

$12 \int \frac{x^{5}}{5 + 2 x^{6}} d x$

Langkah 3

Tulis kembali $x^{6}$ sebagai ${(x^{6})}^{1}$ .

$12 \int \frac{x^{5}}{5 + 2 {(x^{6})}^{1}} d x$

Langkah 4

Biarkan $u_{1} = x^{6}$ . Kemudian $d u_{1} = 6 x^{5} d x$ sehingga $\frac{1}{6} d u_{1} = x^{5} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u_{1} = x^{6}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $x^{6}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6}]$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 6$ .

$6 x^{5}$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$12 \int \frac{1}{5 + 2 {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan.

$12 \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

Langkah 5.2

Kalikan $\frac{1}{5 + 2 u_{1}}$ dengan $\frac{1}{6}$ .

$12 \int \frac{1}{(5 + 2 u_{1}) \cdot 6} d u_{1}$

Langkah 5.3

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $5 + 2 u_{1}$ .

$12 \int \frac{1}{6 (5 + 2 u_{1})} d u_{1}$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{6}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{6}$ keluar dari integral.

$12 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1})$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $12$ .

$\frac{12}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Langkah 7.2

Hapus faktor persekutuan dari $12$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Faktorkan $6$ dari $12$ .

$\frac{6 \cdot 2}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Langkah 7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Faktorkan $6$ dari $6$ .

$\frac{6 \cdot 2}{6 (1)} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Langkah 7.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Langkah 7.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Langkah 7.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$2 \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Langkah 8

Biarkan $u_{2} = 5 + 2 u_{1}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u_{2} = 5 + 2 u_{1}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $5 + 2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5 + 2 u_{1}]$

Langkah 8.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 + 2 u_{1}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{d}{d u_{1}} [5] + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5] + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Langkah 8.1.2.2

Karena $5$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $5$ terhadap $u_{1}$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Langkah 8.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $2 u_{1}$ terhadap $u_{1}$ adalah $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Langkah 8.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Langkah 8.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$0 + 2$

Langkah 8.1.4

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$2$

Langkah 8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Langkah 9.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 11.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 11.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 11.3

Kalikan $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ dengan $1$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 12

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 13

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $5 + 2 u_{1}$ .

$\ln (| 5 + 2 u_{1} |) + C$

Langkah 13.2

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{6}$ .

$\ln (| 5 + 2 x^{6} |) + C$