Kalkulus Contoh

$\int \frac{8}{\sqrt{12 - x^{2} - 4 x}} d x$

Langkah 1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Susun kembali suku-suku.

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 12}} d x$

Langkah 1.2

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $- 4$ dari $- 4 x$ .

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} - 4 (x) + 12}} d x$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali $- 4$ sebagai $2$ ditambah $- 6$

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + (2 - 6) x + 12}} d x$

Langkah 1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 6 x + 12}} d x$

Langkah 1.3

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$\int \frac{8}{\sqrt{(- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12}} d x$

Langkah 1.3.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\int \frac{8}{\sqrt{x (- x + 2) + 6 (- x + 2)}} d x$

Langkah 1.4

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- x + 2$ .

$\int \frac{8}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x$

Langkah 2

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $8$ keluar dari integral.

$8 \int \frac{1}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x$

Langkah 3

Lengkapi kuadratnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Perluas $(- x + 2) (x + 6)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$- x (x + 6) + 2 (x + 6)$

Langkah 3.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 (x + 6)$

Langkah 3.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$- (x \cdot x) - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

Langkah 3.1.2.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$- x^{2} - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

Langkah 3.1.2.1.2

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$- x^{2} - 6 x + 2 x + 2 \cdot 6$

Langkah 3.1.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$- x^{2} - 6 x + 2 x + 12$

Langkah 3.1.2.2

Tambahkan $- 6 x$ dan $2 x$ .

$- x^{2} - 4 x + 12$

Langkah 3.2

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 12$

Langkah 3.3

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 3.4

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

Langkah 3.4.2.1.2

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{- 2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 2$

Langkah 3.4.2.2

Tulis kembali $- 1 \cdot - 2$ sebagai $- - 2$ .

$d = - - 2$

Langkah 3.4.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$d = 2$

Langkah 3.5

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 12 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Langkah 3.5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1.1

Hapus faktor persekutuan dari ${(- 4)}^{2}$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1.1.1

Tulis kembali $- 4$ sebagai $- 1 (4)$ .

$e = 12 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Langkah 3.5.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $- 1 (4)$ .

$e = 12 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Langkah 3.5.2.1.1.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 12 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Langkah 3.5.2.1.1.4

Kalikan $4^{2}$ dengan $1$ .

$e = 12 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Langkah 3.5.2.1.1.5

Faktorkan $4$ dari $4^{2}$ .

$e = 12 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Langkah 3.5.2.1.1.6

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 12 - (- 1 \cdot 4)$

Langkah 3.5.2.1.2

Kalikan $- (- 1 \cdot 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$e = 12 - - 4$

Langkah 3.5.2.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$e = 12 + 4$

Langkah 3.5.2.2

Tambahkan $12$ dan $4$ .

$e = 16$

Langkah 3.6

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- {(x + 2)}^{2} + 16$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- {(x + 2)}^{2} + 16}} d x$

Langkah 4

Biarkan $u = x + 2$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = x + 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Langkah 4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 4.1.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 4.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 16}} d u$

Langkah 5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 4^{2}}} d u$

Langkah 5.2

Susun kembali $- u^{2}$ dan $4^{2}$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}} d u$

Langkah 6

Integral dari $\frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}}$ terhadap $u$ adalah $\arcsin (\frac{u}{4})$

$8 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Langkah 7

Tulis kembali $8 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$ sebagai $8 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$ .

$8 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$

Langkah 8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 2$ .

$8 \arcsin (\frac{1}{4} (x + 2)) + C$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Terapkan sifat distributif.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot 2) + C$

Langkah 9.2

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x$ .

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot 2) + C$

Langkah 9.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2 (2)} \cdot 2) + C$

Langkah 9.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2) + C$

Langkah 9.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2}) + C$

Langkah 10

Susun kembali suku-suku.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x + \frac{1}{2}) + C$