Kalkulus Contoh

$y = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{6 + 2 x}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{\frac{4 x^{2}}{6 + 2 x}}$ sebagai ${(\frac{4 x^{2}}{6 + 2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(\frac{4 x^{2}}{6 + 2 x})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{4 x^{2}}{6 + 2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 3

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $6 + 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Faktorkan $2$ dari $4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{6 + 2 x})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 3 + 2 x})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.1.2.2

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 3 + 2 (x)})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.1.2.3

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 3 + 2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot (3 + x)})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.1.2.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot (3 + x)})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.1.2.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = \frac{2 x^{2}}{3 + x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{2 x^{2}}{3 + x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Langkah 4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Langkah 4.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{2 x^{2}}{3 + x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $4 x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{6 + 2 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Langkah 4.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 3 + 2 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Langkah 4.2.3.2.2

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 3 + 2 (x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Langkah 4.2.3.2.3

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 3 + 2 (x)$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot (3 + x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Langkah 4.2.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot (3 + x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Langkah 4.2.3.2.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Langkah 4.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Langkah 4.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Langkah 4.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Langkah 4.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Langkah 4.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Langkah 4.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Langkah 4.7.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2 x^{2}}{3 + x}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}])$

Langkah 4.7.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.3.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$

Langkah 4.7.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$

Langkah 4.7.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$

Langkah 4.7.3.3

Kalikan ${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$

Langkah 4.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = 3 + x$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(3 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Langkah 4.9

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(3 + x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Langkah 4.9.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $3 + x$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot (3 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Langkah 4.9.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 + x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 + x)}^{2}}$

Langkah 4.9.4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 + x)}^{2}}$

Langkah 4.9.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [x]$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Langkah 4.9.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2} \cdot 1}{{(3 + x)}^{2}}$

Langkah 4.9.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Langkah 4.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.1

Mengubah tanda eksponen dengan menulis kembali bilangan pokok sebagai kebalikannya.

${(\frac{3 + x}{2 x^{2}})}^{\frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Langkah 4.10.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3 + x}{2 x^{2}}$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (3 + x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Langkah 4.10.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 x^{2}$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (3 + x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Langkah 4.10.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(2 \cdot 3 + 2 x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Langkah 4.10.5

Terapkan sifat distributif.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Langkah 4.10.6

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.6.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.6.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{2 (\frac{1}{2})}} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Langkah 4.10.6.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.6.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{2 (\frac{1}{2})}} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Langkah 4.10.6.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{1}} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Langkah 4.10.6.2

Sederhanakan.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Langkah 4.10.6.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Langkah 4.10.6.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 (x^{1} x) - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Langkah 4.10.6.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 (x^{1} x^{1}) - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Langkah 4.10.6.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 x^{1 + 1} - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Langkah 4.10.6.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 x^{2} - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Langkah 4.10.6.8

Kurangi $x^{2}$ dengan $2 x^{2}$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Langkah 4.10.6.9

Kalikan $\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x}$ dengan $\frac{6 x + x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}} (6 x + x^{2})}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{2}}$

Langkah 4.10.6.10

Pindahkan ${(3 + x)}^{\frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{2} {(3 + x)}^{- \frac{1}{2}}}$

Langkah 4.10.6.11

Kalikan ${(3 + x)}^{2}$ dengan ${(3 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.6.11.1

Pindahkan ${(3 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x ({(3 + x)}^{- \frac{1}{2}} {(3 + x)}^{2})}$

Langkah 4.10.6.11.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

Langkah 4.10.6.11.3

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

Langkah 4.10.6.11.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Langkah 4.10.6.11.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

Langkah 4.10.6.11.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.6.11.6.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

Langkah 4.10.6.11.6.2

Tambahkan $- 1$ dan $4$ .

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.10.7

Susun kembali suku-suku.

$\frac{x^{2} + 6 x}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.10.8

Faktorkan $x$ dari $x^{2} + 6 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.8.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 6 x}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.10.8.2

Faktorkan $x$ dari $6 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 6}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.10.8.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x + x \cdot 6$ .

$\frac{x (x + 6)}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.10.9

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x (x + 6)}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.10.10

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x + 6}{2^{\frac{1}{2}} {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{x + 6}{2^{\frac{1}{2}} {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 6}{2^{\frac{1}{2}} {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$