Kalkulus Contoh

$2 \arctan (x)$

Langkah 1

Tulis $2 \arctan (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = 2 \arctan (x)$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int 2 \arctan (x) d x$

Langkah 4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \arctan (x) d x$

Langkah 5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \arctan (x)$ dan $d v = 1$ .

$2 (\arctan (x) x - \int x \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Langkah 6

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Langkah 7

Biarkan $u = x^{2} + 1$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u = x^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 7.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 7.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 7.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Langkah 8.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{1}{2 u} d u)$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$2 (\arctan (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

Langkah 10

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$2 (\arctan (x) x - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C))$

Langkah 11

Sederhanakan.

$2 (\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| u |)) + C$

Langkah 12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 1$ .

$2 (\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Gabungkan $\ln (| x^{2} + 1 |)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$2 (\arctan (x) x - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C$

Langkah 13.2

Untuk menuliskan $\arctan (x) x$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2 (\arctan (x) x \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C$

Langkah 13.3

Gabungkan $\arctan (x) x$ dan $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{\arctan (x) x \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C$

Langkah 13.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 \frac{\arctan (x) x \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Langkah 13.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{\arctan (x) x \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Langkah 13.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\arctan (x) x \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Langkah 13.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\arctan (x) x$ .

$2 \arctan (x) x - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Langkah 13.7

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 \arctan (x) x - \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$2 x \arctan (x) - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Langkah 14

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = 2 \arctan (x)$ .

$F (x) =$ $2 x \arctan (x) - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$