Kalkulus Contoh

$x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2} = 1$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d y} (x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2}) = \frac{d}{d y} (1)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = x^{2}$ dan $g (y) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{2}$ dan $g (y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x$ .

$x^{2} (2 y) + y^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} (2 y) + y^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Langkah 2.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x$ .

$x^{2} (2 y) + y^{2} (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Langkah 2.2.4

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$x^{2} (2 y) + y^{2} (2 x x') + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Langkah 2.2.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y + y^{2} (2 x x') + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Langkah 2.2.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2 x y$ terhadap $y$ adalah $- 2 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = x$ dan $g (y) = y$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Langkah 2.3.4

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x \cdot 1 + y x') + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Langkah 2.3.5

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x + y x') + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{2}$ dan $g (y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x + y x') + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 2.4.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x + y x') + 2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 2.4.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x + y x') + 2 x \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 2.4.2

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x + y x') + 2 x x'$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Terapkan sifat distributif.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 x - 2 (y x') + 2 x x'$

Langkah 2.5.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 x - 2 y x' + 2 x x'$

Langkah 2.5.3

Susun kembali suku-suku.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 y x' + 2 x x' - 2 x$

Langkah 3

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 y x' + 2 x x' - 2 x = 0$

Langkah 5

Selesaikan $x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kurangkan $2 x^{2} y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y^{2} x x' - 2 y x' + 2 x x' - 2 x = - 2 x^{2} y$

Langkah 5.1.2

Tambahkan $2 x$ ke kedua sisi persamaan.

$2 y^{2} x x' - 2 y x' + 2 x x' = - 2 x^{2} y + 2 x$

Langkah 5.2

Faktorkan $2 x'$ dari $2 y^{2} x x' - 2 y x' + 2 x x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $2 x'$ dari $2 y^{2} x x'$ .

$2 x' (y^{2} x) - 2 y x' + 2 x x' = - 2 x^{2} y + 2 x$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $2 x'$ dari $- 2 y x'$ .

$2 x' (y^{2} x) + 2 x' (- y) + 2 x x' = - 2 x^{2} y + 2 x$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $2 x'$ dari $2 x x'$ .

$2 x' (y^{2} x) + 2 x' (- y) + 2 x' x = - 2 x^{2} y + 2 x$

Langkah 5.2.4

Faktorkan $2 x'$ dari $2 x' (y^{2} x) + 2 x' (- y)$ .

$2 x' (y^{2} x - y) + 2 x' x = - 2 x^{2} y + 2 x$

Langkah 5.2.5

Faktorkan $2 x'$ dari $2 x' (y^{2} x - y) + 2 x' x$ .

$2 x' (y^{2} x - y + x) = - 2 x^{2} y + 2 x$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $2 x' (y^{2} x - y + x) = - 2 x^{2} y + 2 x$ dengan $2 (y^{2} x - y + x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $2 x' (y^{2} x - y + x) = - 2 x^{2} y + 2 x$ dengan $2 (y^{2} x - y + x)$ .

$\frac{2 x' (y^{2} x - y + x)}{2 (y^{2} x - y + x)} = \frac{- 2 x^{2} y}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x' (y^{2} x - y + x)}{2 (y^{2} x - y + x)} = \frac{- 2 x^{2} y}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Langkah 5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x' (y^{2} x - y + x)}{y^{2} x - y + x} = \frac{- 2 x^{2} y}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2} x - y + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x' (y^{2} x - y + x)}{y^{2} x - y + x} = \frac{- 2 x^{2} y}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Langkah 5.3.2.2.2

Bagilah $x'$ dengan $1$ .

$x' = \frac{- 2 x^{2} y}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x^{2} y$ .

$x' = \frac{2 (- x^{2} y)}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Langkah 5.3.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x' = \frac{2 (- x^{2} y)}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Langkah 5.3.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x' = \frac{- x^{2} y}{y^{2} x - y + x} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Langkah 5.3.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x' = - \frac{x^{2} y}{y^{2} x - y + x} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Langkah 5.3.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x' = - \frac{x^{2} y}{y^{2} x - y + x} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Langkah 5.3.3.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x' = - \frac{x^{2} y}{y^{2} x - y + x} + \frac{x}{y^{2} x - y + x}$

Langkah 5.3.3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x' = \frac{- x^{2} y + x}{y^{2} x - y + x}$

Langkah 5.3.3.2.2

Faktorkan $x$ dari $- x^{2} y + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $- x^{2} y$ .

$x' = \frac{x (- x y) + x}{y^{2} x - y + x}$

Langkah 5.3.3.2.2.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x' = \frac{x (- x y) + x^{1}}{y^{2} x - y + x}$

Langkah 5.3.3.2.2.3

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$x' = \frac{x (- x y) + x \cdot 1}{y^{2} x - y + x}$

Langkah 5.3.3.2.2.4

Faktorkan $x$ dari $x (- x y) + x \cdot 1$ .

$x' = \frac{x (- x y + 1)}{y^{2} x - y + x}$

Langkah 5.3.3.2.3

Faktorkan $- 1$ dari $- x y$ .

$x' = \frac{x (- (x y) + 1)}{y^{2} x - y + x}$

Langkah 5.3.3.2.4

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{x (- (x y) - 1 (- 1))}{y^{2} x - y + x}$

Langkah 5.3.3.2.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (x y) - 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{x (- (x y - 1))}{y^{2} x - y + x}$

Langkah 5.3.3.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.6.1

Tulis kembali $- (x y - 1)$ sebagai $- 1 (x y - 1)$ .

$x' = \frac{x (- 1 (x y - 1))}{y^{2} x - y + x}$

Langkah 5.3.3.2.6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x' = - \frac{x (x y - 1)}{y^{2} x - y + x}$

Langkah 6

Ganti $x'$ dengan $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x (x y - 1)}{y^{2} x - y + x}$