Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{2}{x^{4} - 16}$ on interval $(0, 2)$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2}{x^{4} - 16}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$

Langkah 1.1.1.1.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{4} - 16}$ sebagai ${(x^{4} - 16)}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 16)}^{- 1}]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{4} - 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{4} - 16$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Langkah 1.1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{4} - 16$ .

$2 (- {(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Langkah 1.1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 ({(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Langkah 1.1.1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} - 16$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Langkah 1.1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

Langkah 1.1.1.3.4

Karena $- 16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 16$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + 0)$

Langkah 1.1.1.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.5.1

Tambahkan $4 x^{3}$ dan $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3})$

Langkah 1.1.1.3.5.2

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$- 8 {(x^{4} - 16)}^{- 2} x^{3}$

Langkah 1.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Langkah 1.1.1.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.1

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Langkah 1.1.1.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Langkah 1.1.1.5.3

Gabungkan $x^{3}$ dan $\frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.5.4

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $x^{3}$ .

$f' (x) = - \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

Langkah 1.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$8 x^{3} = 0$

Langkah 1.2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Bagi setiap suku pada $8 x^{3} = 0$ dengan $8$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.1

Bagilah setiap suku di $8 x^{3} = 0$ dengan $8$ .

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

Langkah 1.2.3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

Langkah 1.2.3.1.2.1.2

Bagilah $x^{3}$ dengan $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{8}$

Langkah 1.2.3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $8$ .

$x^{3} = 0$

Langkah 1.2.3.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \sqrt[3]{0}$

Langkah 1.2.3.3

Sederhanakan $\sqrt[3]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Langkah 1.2.3.3.2

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$x = 0$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Atur penyebut dalam $\frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

Langkah 1.3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1.1

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

Langkah 1.3.2.1.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

Langkah 1.3.2.1.3

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x^{2}$ dan $b = 4$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

Langkah 1.3.2.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1.4.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

Langkah 1.3.2.1.4.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1.4.2.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

Langkah 1.3.2.1.4.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Langkah 1.3.2.1.5

Terapkan kaidah hasil kali ke $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Langkah 1.3.2.1.6

Terapkan kaidah hasil kali ke $(x^{2} + 4) (x + 2)$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Langkah 1.3.2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Langkah 1.3.2.3

Atur ${(x^{2} + 4)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.3.1

Atur ${(x^{2} + 4)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Langkah 1.3.2.3.2

Selesaikan ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.3.2.1

Atur $x^{2} + 4$ agar sama dengan $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Langkah 1.3.2.3.2.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.3.2.2.1

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} = - 4$

Langkah 1.3.2.3.2.2.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Langkah 1.3.2.3.2.2.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.3.2.2.3.1

Tulis kembali $- 4$ sebagai $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Langkah 1.3.2.3.2.2.3.2

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (4)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Langkah 1.3.2.3.2.2.3.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Langkah 1.3.2.3.2.2.3.4

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Langkah 1.3.2.3.2.2.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm i \cdot 2$

Langkah 1.3.2.3.2.2.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \pm 2 i$

Langkah 1.3.2.3.2.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.3.2.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 2 i$

Langkah 1.3.2.3.2.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 2 i$

Langkah 1.3.2.3.2.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 2 i, - 2 i$

Langkah 1.3.2.4

Atur ${(x + 2)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.4.1

Atur ${(x + 2)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Langkah 1.3.2.4.2

Selesaikan ${(x + 2)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.4.2.1

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 1.3.2.4.2.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 1.3.2.5

Atur ${(x - 2)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.5.1

Atur ${(x - 2)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Langkah 1.3.2.5.2

Selesaikan ${(x - 2)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.5.2.1

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 1.3.2.5.2.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 1.3.2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ benar.

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$

Langkah 1.3.3

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{2}{x^{4} - 16}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$\frac{2}{{(0)}^{4} - 16}$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{2}{0 - 16}$

Langkah 1.4.1.2.1.2

Kurangi $16$ dengan $0$ .

$\frac{2}{- 16}$

Langkah 1.4.1.2.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $- 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (1)}{- 16}$

Langkah 1.4.1.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 16$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 8}$

Langkah 1.4.1.2.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 8}$

Langkah 1.4.1.2.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{- 8}$

Langkah 1.4.1.2.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{8}$

Langkah 1.4.2

Evaluasi pada $x = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Substitusikan $- 2$ untuk $x$ .

$\frac{2}{{(- 2)}^{4} - 16}$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $4$ .

$\frac{2}{16 - 16}$

Langkah 1.4.2.2.2

Kurangi $16$ dengan $16$ .

$\frac{2}{0}$

Langkah 1.4.2.2.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 1.4.3

Evaluasi pada $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Substitusikan $2$ untuk $x$ .

$\frac{2}{{(2)}^{4} - 16}$

Langkah 1.4.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$\frac{2}{16 - 16}$

Langkah 1.4.3.2.2

Kurangi $16$ dengan $16$ .

$\frac{2}{0}$

Langkah 1.4.3.2.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 1.4.4

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, - \frac{1}{8})$

Langkah 2

Keluarkan titik-titik yang tidak termasuk dalam interval.

Langkah 3

Karena tidak ada nilai dari $x$ yang membuat turunan pertama sama dengan $0$ , maka tidak ada ekstrem lokal.

Tidak Ada Ekstrem Lokal

Langkah 4

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Tidak ada maksimum mutlak

Tidak ada minimum mutlak

Langkah 5