Kalkulus Contoh

$x^{2} y + x y^{2} = 3 x$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d y} (x^{2} y + x y^{2}) = \frac{d}{d y} (3 x)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} y + x y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = x^{2}$ dan $g (y) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{2}$ dan $g (y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 u \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Langkah 2.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Langkah 2.2.4

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Langkah 2.2.5

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Langkah 2.2.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = x$ dan $g (y) = y^{2}$ .

$x^{2} + 2 y x x' + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} + 2 y x x' + x (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$x^{2} + 2 y x x' + x (2 y) + y^{2} x'$

Langkah 2.3.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' + 2 x y + y^{2} x'$

Langkah 2.4

Susun kembali suku-suku.

$x^{2} + 2 x y x' + 2 x y + y^{2} x'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 x$ terhadap $y$ adalah $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$3 \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$3 x'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$x^{2} + 2 x y x' + 2 x y + y^{2} x' = 3 x'$

Langkah 5

Selesaikan $x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangkan $3 x'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} + 2 x y x' + 2 x y + y^{2} x' - 3 x' = 0$

Langkah 5.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kurangkan $x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x y x' + 2 x y + y^{2} x' - 3 x' = - x^{2}$

Langkah 5.2.2

Kurangkan $2 x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x y x' + y^{2} x' - 3 x' = - x^{2} - 2 x y$

Langkah 5.3

Faktorkan $x'$ dari $2 x y x' + y^{2} x' - 3 x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $x'$ dari $2 x y x'$ .

$x' (2 x y) + y^{2} x' - 3 x' = - x^{2} - 2 x y$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $x'$ dari $y^{2} x'$ .

$x' (2 x y) + x' (y^{2}) - 3 x' = - x^{2} - 2 x y$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $x'$ dari $- 3 x'$ .

$x' (2 x y) + x' (y^{2}) + x' \cdot - 3 = - x^{2} - 2 x y$

Langkah 5.3.4

Faktorkan $x'$ dari $x' (2 x y) + x' (y^{2})$ .

$x' (2 x y + y^{2}) + x' \cdot - 3 = - x^{2} - 2 x y$

Langkah 5.3.5

Faktorkan $x'$ dari $x' (2 x y + y^{2}) + x' \cdot - 3$ .

$x' (2 x y + y^{2} - 3) = - x^{2} - 2 x y$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $x' (2 x y + y^{2} - 3) = - x^{2} - 2 x y$ dengan $2 x y + y^{2} - 3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $x' (2 x y + y^{2} - 3) = - x^{2} - 2 x y$ dengan $2 x y + y^{2} - 3$ .

$\frac{x' (2 x y + y^{2} - 3)}{2 x y + y^{2} - 3} = \frac{- x^{2}}{2 x y + y^{2} - 3} + \frac{- 2 x y}{2 x y + y^{2} - 3}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 x y + y^{2} - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x' (2 x y + y^{2} - 3)}{2 x y + y^{2} - 3} = \frac{- x^{2}}{2 x y + y^{2} - 3} + \frac{- 2 x y}{2 x y + y^{2} - 3}$

Langkah 5.4.2.1.2

Bagilah $x'$ dengan $1$ .

$x' = \frac{- x^{2}}{2 x y + y^{2} - 3} + \frac{- 2 x y}{2 x y + y^{2} - 3}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x' = \frac{- x^{2} - 2 x y}{2 x y + y^{2} - 3}$

Langkah 5.4.3.2

Faktorkan $x$ dari $- x^{2} - 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.1

Faktorkan $x$ dari $- x^{2}$ .

$x' = \frac{x (- x) - 2 x y}{2 x y + y^{2} - 3}$

Langkah 5.4.3.2.2

Faktorkan $x$ dari $- 2 x y$ .

$x' = \frac{x (- x) + x (- 2 y)}{2 x y + y^{2} - 3}$

Langkah 5.4.3.2.3

Faktorkan $x$ dari $x (- x) + x (- 2 y)$ .

$x' = \frac{x (- x - 2 y)}{2 x y + y^{2} - 3}$

Langkah 5.4.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$x' = \frac{x (- (x) - 2 y)}{2 x y + y^{2} - 3}$

Langkah 5.4.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 y$ .

$x' = \frac{x (- (x) - (2 y))}{2 x y + y^{2} - 3}$

Langkah 5.4.3.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - (2 y)$ .

$x' = \frac{x (- (x + 2 y))}{2 x y + y^{2} - 3}$

Langkah 5.4.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.6.1

Tulis kembali $- (x + 2 y)$ sebagai $- 1 (x + 2 y)$ .

$x' = \frac{x (- 1 (x + 2 y))}{2 x y + y^{2} - 3}$

Langkah 5.4.3.6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x' = - \frac{x (x + 2 y)}{2 x y + y^{2} - 3}$

Langkah 6

Ganti $x'$ dengan $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x (x + 2 y)}{2 x y + y^{2} - 3}$