Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Langkah 1.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Langkah 1.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Langkah 1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Langkah 1.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Langkah 1.5.2

Kurangi $3$ dengan $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Langkah 1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Langkah 1.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 1.7.2

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $\frac{2}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})$

Langkah 2.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ sebagai ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

Langkah 2.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3} \cdot - 1})$

Langkah 2.2.2.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{3}})$

Langkah 2.2.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{3}})$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

Langkah 2.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Langkah 2.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Langkah 2.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Langkah 2.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

Langkah 2.7.2

Kurangi $3$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

Langkah 2.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

Langkah 2.9

Gabungkan $x^{- \frac{4}{3}}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Langkah 2.10

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{3 \cdot 3}$

Langkah 2.11

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{9}$

Langkah 2.11.2

Pindahkan $x^{- \frac{4}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Langkah 4.1.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Langkah 4.1.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Langkah 4.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Langkah 4.1.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Langkah 4.1.5.2

Kurangi $3$ dengan $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Langkah 4.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Langkah 4.1.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.7.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 4.1.7.2

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Langkah 5.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 = 0$

Langkah 5.3

Karena $2 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ubah persamaan dengan eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Langkah 6.1.2

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Langkah 6.2

Atur penyebut dalam $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Langkah 6.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Untuk menghilangkan akar pada sisi kiri persamaan, pangkatkan tiga kedua sisi persamaan.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 6.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1

Sederhanakan ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 6.3.2.2.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 6.3.2.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 6.3.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 6.3.2.2.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Langkah 6.3.2.2.1.4

Sederhanakan.

$27 x = 0^{3}$

Langkah 6.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$27 x = 0$

Langkah 6.3.3

Bagi setiap suku pada $27 x = 0$ dengan $27$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Bagilah setiap suku di $27 x = 0$ dengan $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Langkah 6.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $27$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Langkah 6.3.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Langkah 6.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $27$ .

$x = 0$

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 0$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$- \frac{2}{9 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 9.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Langkah 9.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Langkah 9.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{4}}$

Langkah 9.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0}$

Langkah 9.3.2

Kalikan $9$ dengan $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Langkah 9.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$- \frac{2}{0}$

Langkah 9.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 10

Karena setidaknya ada satu titik di $0$ atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 10.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $- 2$ , dari interval $(- \infty, 0)$ dalam turunan pertama $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 10.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 10.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $2$ , dari interval $(0, \infty)$ dalam turunan pertama $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = \frac{2}{3 {(2)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 10.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.1

Pindahkan ${(2)}^{\frac{1}{3}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (2) = \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 10.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $2^{- \frac{1}{3}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.2.1

Kalikan $2$ dengan $2^{- \frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (2) = \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 10.3.2.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (2) = \frac{2^{1 - \frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 10.3.2.2.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 10.3.2.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3 - 1}{3}}}{3}$

Langkah 10.3.2.2.4

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

Langkah 10.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

Langkah 10.4

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari negatif menjadi positif di sekitar $x = 0$ , maka $x = 0$ adalah minimum lokal.

$x = 0$ adalah minimum lokal

Langkah 11