Kalkulus Contoh

$\frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$

Langkah 1

Tulis $\frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $\frac{1}{5}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{5} x^{5}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Langkah 2.1.2.3

Gabungkan $5$ dan $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Langkah 2.1.2.4

Gabungkan $\frac{5}{5}$ dan $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Langkah 2.1.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Langkah 2.1.2.5.2

Bagilah $x^{4}$ dengan $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{4}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{4} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$x^{4} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$x^{4} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Langkah 2.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Karena $- 12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 12 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} - 4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$x^{4} - 4 x^{3} - 12 (3 x^{2})$

Langkah 2.1.4.3

Kalikan $3$ dengan $- 12$ .

$f' (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 36 x^{2}$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} - 4 x^{3} - 36 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Langkah 2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Langkah 2.2.2.3

Kalikan $3$ dengan $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Langkah 2.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Karena $- 36$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 36 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 36 (2 x)$

Langkah 2.2.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 36$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $4 x$ dari $4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Faktorkan $4 x$ dari $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 12 x^{2} - 72 x = 0$

Langkah 3.2.1.2

Faktorkan $4 x$ dari $- 12 x^{2}$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 3 x) - 72 x = 0$

Langkah 3.2.1.3

Faktorkan $4 x$ dari $- 72 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 3 x) + 4 x (- 18) = 0$

Langkah 3.2.1.4

Faktorkan $4 x$ dari $4 x (x^{2}) + 4 x (- 3 x)$ .

$4 x (x^{2} - 3 x) + 4 x (- 18) = 0$

Langkah 3.2.1.5

Faktorkan $4 x$ dari $4 x (x^{2} - 3 x) + 4 x (- 18)$ .

$4 x (x^{2} - 3 x - 18) = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Faktorkan $x^{2} - 3 x - 18$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 18$ dan jumlahnya $- 3$ .

$- 6, 3$

Langkah 3.2.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$4 x ((x - 6) (x + 3)) = 0$

Langkah 3.2.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$4 x (x - 6) (x + 3) = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Langkah 3.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.5

Atur $x - 6$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $x - 6$ sama dengan $0$ .

$x - 6 = 0$

Langkah 3.5.2

Tambahkan $6$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 6$

Langkah 3.6

Atur $x + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Atur $x + 3$ sama dengan $0$ .

$x + 3 = 0$

Langkah 3.6.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 3.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $4 x (x - 6) (x + 3) = 0$ benar.

$x = 0, 6, - 3$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $0$ dalam $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = \frac{1}{5} \cdot {(0)}^{5} - {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = \frac{1}{5} \cdot 0 - {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Langkah 4.1.2.1.2

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Langkah 4.1.2.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 - 0 - 12 {(0)}^{3}$

Langkah 4.1.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 12 {(0)}^{3}$

Langkah 4.1.2.1.5

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 12 \cdot 0$

Langkah 4.1.2.1.6

Kalikan $- 12$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Langkah 4.1.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0$

Langkah 4.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $0$ dalam $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ adalah $(0, 0)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(0, 0)$

Langkah 4.3

Substitusikan $6$ dalam $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $6$ pada pernyataan tersebut.

$f (6) = \frac{1}{5} \cdot {(6)}^{5} - {(6)}^{4} - 12 {(6)}^{3}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $5$ .

$f (6) = \frac{1}{5} \cdot 7776 - {(6)}^{4} - 12 {(6)}^{3}$

Langkah 4.3.2.1.2

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $7776$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - {(6)}^{4} - 12 {(6)}^{3}$

Langkah 4.3.2.1.3

Naikkan $6$ menjadi pangkat $4$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1 \cdot 1296 - 12 {(6)}^{3}$

Langkah 4.3.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1296$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1296 - 12 {(6)}^{3}$

Langkah 4.3.2.1.5

Naikkan $6$ menjadi pangkat $3$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1296 - 12 \cdot 216$

Langkah 4.3.2.1.6

Kalikan $- 12$ dengan $216$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1296 - 2592$

Langkah 4.3.2.2

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Tulis $- 1296$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296}{1} - 2592$

Langkah 4.3.2.2.2

Kalikan $\frac{- 1296}{1}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296}{1} \cdot \frac{5}{5} - 2592$

Langkah 4.3.2.2.3

Kalikan $\frac{- 1296}{1}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} - 2592$

Langkah 4.3.2.2.4

Tulis $- 2592$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} + \frac{- 2592}{1}$

Langkah 4.3.2.2.5

Kalikan $\frac{- 2592}{1}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} + \frac{- 2592}{1} \cdot \frac{5}{5}$

Langkah 4.3.2.2.6

Kalikan $\frac{- 2592}{1}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} + \frac{- 2592 \cdot 5}{5}$

Langkah 4.3.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (6) = \frac{7776 - 1296 \cdot 5 - 2592 \cdot 5}{5}$

Langkah 4.3.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.4.1

Kalikan $- 1296$ dengan $5$ .

$f (6) = \frac{7776 - 6480 - 2592 \cdot 5}{5}$

Langkah 4.3.2.4.2

Kalikan $- 2592$ dengan $5$ .

$f (6) = \frac{7776 - 6480 - 12960}{5}$

Langkah 4.3.2.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.5.1

Kurangi $6480$ dengan $7776$ .

$f (6) = \frac{1296 - 12960}{5}$

Langkah 4.3.2.5.2

Kurangi $12960$ dengan $1296$ .

$f (6) = \frac{- 11664}{5}$

Langkah 4.3.2.5.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (6) = - \frac{11664}{5}$

Langkah 4.3.2.6

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{11664}{5}$ .

$- \frac{11664}{5}$

Langkah 4.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $6$ dalam $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ adalah $(6, - \frac{11664}{5})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(6, - \frac{11664}{5})$

Langkah 4.5

Substitusikan $- 3$ dalam $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 3$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 3) = \frac{1}{5} \cdot {(- 3)}^{5} - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

Langkah 4.5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $5$ .

$f (- 3) = \frac{1}{5} \cdot - 243 - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

Langkah 4.5.2.1.2

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{5} - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

Langkah 4.5.2.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

Langkah 4.5.2.1.4

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $4$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 1 \cdot 81 - 12 {(- 3)}^{3}$

Langkah 4.5.2.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $81$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 81 - 12 {(- 3)}^{3}$

Langkah 4.5.2.1.6

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 81 - 12 \cdot - 27$

Langkah 4.5.2.1.7

Kalikan $- 12$ dengan $- 27$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 81 + 324$

Langkah 4.5.2.2

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.2.1

Tulis $- 81$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81}{1} + 324$

Langkah 4.5.2.2.2

Kalikan $\frac{- 81}{1}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81}{1} \cdot \frac{5}{5} + 324$

Langkah 4.5.2.2.3

Kalikan $\frac{- 81}{1}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + 324$

Langkah 4.5.2.2.4

Tulis $324$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + \frac{324}{1}$

Langkah 4.5.2.2.5

Kalikan $\frac{324}{1}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + \frac{324}{1} \cdot \frac{5}{5}$

Langkah 4.5.2.2.6

Kalikan $\frac{324}{1}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + \frac{324 \cdot 5}{5}$

Langkah 4.5.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (- 3) = \frac{- 243 - 81 \cdot 5 + 324 \cdot 5}{5}$

Langkah 4.5.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.4.1

Kalikan $- 81$ dengan $5$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 - 405 + 324 \cdot 5}{5}$

Langkah 4.5.2.4.2

Kalikan $324$ dengan $5$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 - 405 + 1620}{5}$

Langkah 4.5.2.5

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.5.1

Kurangi $405$ dengan $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{- 648 + 1620}{5}$

Langkah 4.5.2.5.2

Tambahkan $- 648$ dan $1620$ .

$f (- 3) = \frac{972}{5}$

Langkah 4.5.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{972}{5}$ .

$\frac{972}{5}$

Langkah 4.6

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $- 3$ dalam $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ adalah $(- 3, \frac{972}{5})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(- 3, \frac{972}{5})$

Langkah 4.7

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(0, 0), (6, - \frac{11664}{5}), (- 3, \frac{972}{5})$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 3)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 3.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 3.1) = 4 {(- 3.1)}^{3} - 12 {(- 3.1)}^{2} - 72 \cdot - 3.1$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 3.1$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- 3.1) = 4 \cdot - 29.791 - 12 {(- 3.1)}^{2} - 72 \cdot - 3.1$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 29.791$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 12 {(- 3.1)}^{2} - 72 \cdot - 3.1$

Langkah 6.2.1.3

Naikkan $- 3.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 12 \cdot 9.61 - 72 \cdot - 3.1$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $- 12$ dengan $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 115.32 - 72 \cdot - 3.1$

Langkah 6.2.1.5

Kalikan $- 72$ dengan $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 115.32 + 223.2$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Kurangi $115.32$ dengan $- 119.164$ .

$f'' (- 3.1) = - 234.484 + 223.2$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $- 234.484$ dan $223.2$ .

$f'' (- 3.1) = - 11.284$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 11.284$ .

$- 11.284$

Langkah 6.3

Pada $- 3.1$ , turunan kedua adalah $- 11.284$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, - 3)$

Menurun pada $(- \infty, - 3)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 3, 0)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{3}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Langkah 7.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Langkah 7.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Langkah 7.2.1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{27}{2^{3}}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Langkah 7.2.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{27}{8}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Langkah 7.2.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.5.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{27}{8}$ ke dalam pembilangnya.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{8}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Langkah 7.2.1.5.2

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{4 (2)}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Langkah 7.2.1.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Langkah 7.2.1.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27}{2} - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Langkah 7.2.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Langkah 7.2.1.7

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.7.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) - 72 (- \frac{3}{2})$

Langkah 7.2.1.7.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) - 72 (- \frac{3}{2})$

Langkah 7.2.1.8

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) - 72 (- \frac{3}{2})$

Langkah 7.2.1.9

Kalikan $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ dengan $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 72 (- \frac{3}{2})$

Langkah 7.2.1.10

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 \frac{9}{2^{2}} - 72 (- \frac{3}{2})$

Langkah 7.2.1.11

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 (\frac{9}{4}) - 72 (- \frac{3}{2})$

Langkah 7.2.1.12

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.12.1

Faktorkan $4$ dari $- 12$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 4 (- 3) (\frac{9}{4}) - 72 (- \frac{3}{2})$

Langkah 7.2.1.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 4 \cdot (- 3 (\frac{9}{4})) - 72 (- \frac{3}{2})$

Langkah 7.2.1.12.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 3 \cdot 9 - 72 (- \frac{3}{2})$

Langkah 7.2.1.13

Kalikan $- 3$ dengan $9$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 - 72 (- \frac{3}{2})$

Langkah 7.2.1.14

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.14.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{3}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 - 72 (\frac{- 3}{2})$

Langkah 7.2.1.14.2

Faktorkan $2$ dari $- 72$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 + 2 (- 36) (\frac{- 3}{2})$

Langkah 7.2.1.14.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 + 2 \cdot (- 36 (\frac{- 3}{2}))$

Langkah 7.2.1.14.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 - 36 \cdot - 3$

Langkah 7.2.1.15

Kalikan $- 36$ dengan $- 3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 + 108$

Langkah 7.2.2

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Tulis $- 27$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} + 108$

Langkah 7.2.2.2

Kalikan $\frac{- 27}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} \cdot \frac{2}{2} + 108$

Langkah 7.2.2.3

Kalikan $\frac{- 27}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + 108$

Langkah 7.2.2.4

Tulis $108$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{108}{1}$

Langkah 7.2.2.5

Kalikan $\frac{108}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{108}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 7.2.2.6

Kalikan $\frac{108}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{108 \cdot 2}{2}$

Langkah 7.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 - 27 \cdot 2 + 108 \cdot 2}{2}$

Langkah 7.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.1

Kalikan $- 27$ dengan $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 - 54 + 108 \cdot 2}{2}$

Langkah 7.2.4.2

Kalikan $108$ dengan $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 - 54 + 216}{2}$

Langkah 7.2.5

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.5.1

Kurangi $54$ dengan $- 27$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 81 + 216}{2}$

Langkah 7.2.5.2

Tambahkan $- 81$ dan $216$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{135}{2}$

Langkah 7.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{135}{2}$ .

$\frac{135}{2}$

Langkah 7.3

Pada $- \frac{3}{2}$ , turunan keduanya adalah $67.5$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- 3, 0)$ .

Meningkat pada $(- 3, 0)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(0, 6)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (3) = 4 {(3)}^{3} - 12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (3) = 4 \cdot 27 - 12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $27$ .

$f'' (3) = 108 - 12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

Langkah 8.2.1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (3) = 108 - 12 \cdot 9 - 72 \cdot 3$

Langkah 8.2.1.4

Kalikan $- 12$ dengan $9$ .

$f'' (3) = 108 - 108 - 72 \cdot 3$

Langkah 8.2.1.5

Kalikan $- 72$ dengan $3$ .

$f'' (3) = 108 - 108 - 216$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Kurangi $108$ dengan $108$ .

$f'' (3) = 0 - 216$

Langkah 8.2.2.2

Kurangi $216$ dengan $0$ .

$f'' (3) = - 216$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 216$ .

$- 216$

Langkah 8.3

Pada $3$ , turunan kedua adalah $- 216$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(0, 6)$

Menurun pada $(0, 6)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 9

Substitusikan nilai dari interval $(6, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ganti variabel $x$ dengan $6.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (6.1) = 4 {(6.1)}^{3} - 12 {(6.1)}^{2} - 72 \cdot 6.1$

Langkah 9.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Naikkan $6.1$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (6.1) = 4 \cdot 226.981 - 12 {(6.1)}^{2} - 72 \cdot 6.1$

Langkah 9.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $226.981$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 12 {(6.1)}^{2} - 72 \cdot 6.1$

Langkah 9.2.1.3

Naikkan $6.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 12 \cdot 37.21 - 72 \cdot 6.1$

Langkah 9.2.1.4

Kalikan $- 12$ dengan $37.21$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 446.52 - 72 \cdot 6.1$

Langkah 9.2.1.5

Kalikan $- 72$ dengan $6.1$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 446.52 - 439.2$

Langkah 9.2.2

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Kurangi $446.52$ dengan $907.924$ .

$f'' (6.1) = 461.404 - 439.2$

Langkah 9.2.2.2

Kurangi $439.2$ dengan $461.404$ .

$f'' (6.1) = 22.204$

Langkah 9.2.3

Jawaban akhirnya adalah $22.204$ .

$22.204$

Langkah 9.3

Pada $6.1$ , turunan keduanya adalah $22.204$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(6, \infty)$ .

Meningkat pada $(6, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 10

Titik belok adalah sebuah titik pada kurva di mana kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik-titik belok dalam kasus ini adalah $(- 3, \frac{972}{5}), (0, 0), (6, - \frac{11664}{5})$ .

$(- 3, \frac{972}{5}), (0, 0), (6, - \frac{11664}{5})$

Langkah 11