Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{3}{x}$ , $[1, 7]$

Langkah 1

Untuk menentukan rerata nilai fungsi, fungsinya harus kontinu pada interval tertutup $[a, b]$ . Untuk menentukan apakah $f (x)$ kontinu di $[1, 7]$ atau tidak, tentukan domain dari $f (x) = \frac{3}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Atur penyebut dalam $\frac{3}{x}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = 0$

Langkah 1.2

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 0}$

Notasi Interval:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 0}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[1, 7]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (\int_{1}^{7} \frac{3}{x} d x)$

Langkah 5

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \int_{1}^{7} \frac{1}{x} d x)$

Langkah 6

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 (\ln (| x |)]_{1}^{7}))$

Langkah 7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $\ln (| x |)$ pada $7$ dan pada $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 (\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |)))$

Langkah 7.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{| 7 |}{| 1 |}))$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $7$ adalah $7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{7}{| 1 |}))$

Langkah 7.3.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{7}{1}))$

Langkah 7.3.3

Bagilah $7$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (7))$

Langkah 8

Kurangi $1$ dengan $7$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (3 \ln (7))$

Langkah 9

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$A (x) = \frac{1}{3 (2)} \cdot (3 \ln (7))$

Langkah 9.2

Faktorkan $3$ dari $3 \ln (7)$ .

$A (x) = \frac{1}{3 (2)} \cdot (3 (\ln (7)))$

Langkah 9.3

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \ln (7))$

Langkah 9.4

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (7)$

Langkah 10

Sederhanakan $\frac{1}{2} \cdot \ln (7)$ dengan memindahkan $\frac{1}{2}$ ke dalam logaritma.

$A (x) = \ln (7^{\frac{1}{2}})$

Langkah 11