Kalkulus Contoh

$y = \cos (x + \frac{π}{4})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = x + \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + \frac{π}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Langkah 1.1.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Langkah 1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + \frac{π}{4}$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + \frac{π}{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Langkah 1.2.3

Karena $\frac{π}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{π}{4}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

Langkah 1.2.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4})$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \sin (x + \frac{π}{4})$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\sin (x + \frac{π}{4})]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \sin (x + \frac{π}{4})$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = x + \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + \frac{π}{4}$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{4}))$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - (\cos (u) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{4}))$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + \frac{π}{4}$ .

$f'' (x) = - (\cos (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{4}))$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + \frac{π}{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$f'' (x) = - \cos (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{4}))$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - \cos (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{4}))$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{π}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{π}{4}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - \cos (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f'' (x) = - \cos (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

Langkah 2.3.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - \cos (x + \frac{π}{4})$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

Langkah 4

Bagi setiap suku pada $- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Bagilah setiap suku di $- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \sin (x + \frac{π}{4})}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\sin (x + \frac{π}{4})}{1} = \frac{0}{- 1}$

Langkah 4.2.2

Bagilah $\sin (x + \frac{π}{4})$ dengan $1$ .

$\sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{0}{- 1}$

Langkah 4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Bagilah $0$ dengan $- 1$ .

$\sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

Langkah 5

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x + \frac{π}{4} = \arcsin (0)$

Langkah 6

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$x + \frac{π}{4} = 0$

Langkah 7

Kurangkan $\frac{π}{4}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - \frac{π}{4}$

Langkah 8

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x + \frac{π}{4} = π - 0$

Langkah 9

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x + \frac{π}{4} = π$

Langkah 9.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Kurangkan $\frac{π}{4}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = π - \frac{π}{4}$

Langkah 9.2.2

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 9.2.3

Gabungkan $π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 9.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Langkah 9.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.5.1

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Langkah 9.2.5.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Langkah 10

Penyelesaian untuk persamaan $x + \frac{π}{4} = 0$ .

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Langkah 11

Evaluasi turunan kedua pada $x = - \frac{π}{4}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \cos ((- \frac{π}{4}) + \frac{π}{4})$

Langkah 12

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \cos (\frac{- π + π}{4})$

Langkah 12.2

Tambahkan $- π$ dan $π$ .

$- \cos (\frac{0}{4})$

Langkah 12.3

Bagilah $0$ dengan $4$ .

$- \cos (0)$

Langkah 12.4

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 12.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 13

$x = - \frac{π}{4}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - \frac{π}{4}$ adalah maksimum lokal

Langkah 14

Tentukan nilai y ketika $x = - \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{π}{4}$ pada pernyataan tersebut.

$f (- \frac{π}{4}) = \cos ((- \frac{π}{4}) + \frac{π}{4})$

Langkah 14.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (- \frac{π}{4}) = \cos (\frac{- π + π}{4})$

Langkah 14.2.2

Tambahkan $- π$ dan $π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \cos (\frac{0}{4})$

Langkah 14.2.3

Bagilah $0$ dengan $4$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \cos (0)$

Langkah 14.2.4

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 1$

Langkah 14.2.5

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$y = 1$

Langkah 15

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{3 π}{4}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \cos ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Langkah 16

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \cos (\frac{3 π + π}{4})$

Langkah 16.2

Tambahkan $3 π$ dan $π$ .

$- \cos (\frac{4 π}{4})$

Langkah 16.3

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \cos (\frac{4 π}{4})$

Langkah 16.3.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$- \cos (π)$

Langkah 16.4

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$- - \cos (0)$

Langkah 16.5

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

Langkah 16.6

Kalikan $- (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- - 1$

Langkah 16.6.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1$

Langkah 17

$x = \frac{3 π}{4}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{3 π}{4}$ adalah minimum lokal

Langkah 18

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{3 π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{3 π}{4}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{3 π}{4}) = \cos ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Langkah 18.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{3 π}{4}) = \cos (\frac{3 π + π}{4})$

Langkah 18.2.2

Tambahkan $3 π$ dan $π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \cos (\frac{4 π}{4})$

Langkah 18.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{3 π}{4}) = \cos (\frac{4 π}{4})$

Langkah 18.2.3.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \cos (π)$

Langkah 18.2.4

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \cos (0)$

Langkah 18.2.5

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 \cdot 1$

Langkah 18.2.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1$

Langkah 18.2.7

Jawaban akhirnya adalah $- 1$ .

$y = - 1$

Langkah 19

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = \cos (x + \frac{π}{4})$ .

$(- \frac{π}{4}, 1)$ adalah maksimum lokal

$(\frac{3 π}{4}, - 1)$ adalah minimum lokal

Langkah 20