Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} 5^{\frac{3 x}{2}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = \frac{3 x}{2}$ . Kemudian $d u = \frac{3}{2} d x$ sehingga $\frac{2}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = \frac{3 x}{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\frac{3 x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Langkah 1.1.2

Karena $\frac{3}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{3 x}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot 1$

Langkah 1.1.4

Kalikan $\frac{3}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{3}{2}$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = \frac{3 x}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 0}{2}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $3 \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2}$

Langkah 1.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2 (1)}$

Langkah 1.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 0}{1}$

Langkah 1.3.1.2.4

Bagilah $3 \cdot 0$ dengan $1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Langkah 1.3.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = \frac{3 x}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{3 \cdot 1}{2}$

Langkah 1.5

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$u_{upper} = \frac{3}{2}$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{3}{2}$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{3}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot (1 (\frac{2}{3})) d u$

Langkah 2.2

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot \frac{2}{3} d u$

Langkah 2.3

Gabungkan $5^{u}$ dan $\frac{2}{3}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{5^{u} \cdot 2}{3} d u$

Langkah 2.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $5^{u}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{2 \cdot 5^{u}}{3} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{2}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{2}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{2}{3} \int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} d u$

Langkah 4

Integral dari $5^{u}$ terhadap $u$ adalah $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ .

$\frac{2}{3} \frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}}$

Langkah 5

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $\frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (\frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}})}{3}$

Langkah 6

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ pada $\frac{3}{2}$ dan pada $0$ .

$\frac{2 ((\frac{5^{\frac{3}{2}}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)})}{3}$

Langkah 6.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{2 (\frac{5^{\frac{3}{2}}}{\ln (5)} - \frac{1}{\ln (5)})}{3}$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 \frac{5^{\frac{3}{2}} - 1}{\ln (5)}}{3}$

Langkah 7.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{5^{\frac{3}{2}} - 1}{\ln (5)}$ .

$\frac{\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5)}}{3}$

Langkah 7.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5)} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 7.4

Gabungkan.

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1) \cdot 1}{\ln (5) \cdot 3}$

Langkah 7.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5) \cdot 3}$

Langkah 7.6

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\ln (5)$ .

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{3 \ln (5)}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{3 \ln (5)}$

Bentuk Desimal:

$4.21693387 \dots$

Langkah 9