Kalkulus Contoh

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$

Langkah 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $- \frac{1}{6}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{1}{6} x^{4}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$- \frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{6}) x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.2.4

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.2.5

Gabungkan $\frac{- 4}{6}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.6.1

Faktorkan $2$ dari $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.2.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = - \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x$

Langkah 1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $- \frac{2}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{2 x^{3}}{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$- \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- 3 (\frac{2}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.2.2.4

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.2.2.5

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$\frac{- 6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.2.2.6

Gabungkan $\frac{- 6}{3}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.2.2.7

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.7.1

Faktorkan $3$ dari $- 6 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.2.2.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.7.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.2.2.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.2.2.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.2.2.7.2.4

Bagilah $- 2 x^{2}$ dengan $1$ .

$- 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 x^{2} + 2 \cdot 1$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{2} + 2$

Langkah 1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 x^{2} + 2$ .

$- 2 x^{2} + 2$

Langkah 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 2 x^{2} + 2 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- 2 x^{2} + 2 = 0$

Langkah 2.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 x^{2} = - 2$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $- 2 x^{2} = - 2$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $- 2 x^{2} = - 2$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 2}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Bagilah $- 2$ dengan $- 2$ .

$x^{2} = 1$

Langkah 2.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{1}$

Langkah 2.5

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm 1$

Langkah 2.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 1$

Langkah 2.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 1$

Langkah 2.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 1, - 1$

Langkah 3

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $1$ dalam $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = - \frac{1}{6} \cdot {(1)}^{4} + {(1)}^{2}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = - \frac{1}{6} \cdot 1 + {(1)}^{2}$

Langkah 3.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (1) = - \frac{1}{6} + {(1)}^{2}$

Langkah 3.1.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = - \frac{1}{6} + 1$

Langkah 3.1.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.2.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f (1) = - \frac{1}{6} + \frac{6}{6}$

Langkah 3.1.2.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (1) = \frac{- 1 + 6}{6}$

Langkah 3.1.2.2.3

Tambahkan $- 1$ dan $6$ .

$f (1) = \frac{5}{6}$

Langkah 3.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{6}$

Langkah 3.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $1$ dalam $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ adalah $(1, \frac{5}{6})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(1, \frac{5}{6})$

Langkah 3.3

Substitusikan $- 1$ dalam $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 1) = - \frac{1}{6} \cdot {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{2}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan ${(- 1)}^{4}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1.1

Pindahkan ${(- 1)}^{4}$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} \cdot (- 1 (\frac{1}{6})) + {(- 1)}^{2}$

Langkah 3.3.2.1.1.2

Kalikan ${(- 1)}^{4}$ dengan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} \cdot ((- 1) (\frac{1}{6})) + {(- 1)}^{2}$

Langkah 3.3.2.1.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4 + 1} (\frac{1}{6}) + {(- 1)}^{2}$

Langkah 3.3.2.1.1.3

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{5} (\frac{1}{6}) + {(- 1)}^{2}$

Langkah 3.3.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $5$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{6} + {(- 1)}^{2}$

Langkah 3.3.2.1.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{6} + 1$

Langkah 3.3.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f (- 1) = - \frac{1}{6} + \frac{6}{6}$

Langkah 3.3.2.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (- 1) = \frac{- 1 + 6}{6}$

Langkah 3.3.2.2.3

Tambahkan $- 1$ dan $6$ .

$f (- 1) = \frac{5}{6}$

Langkah 3.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{6}$

Langkah 3.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $- 1$ dalam $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ adalah $(- 1, \frac{5}{6})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(- 1, \frac{5}{6})$

Langkah 3.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(1, \frac{5}{6}), (- 1, \frac{5}{6})$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 1)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 1.1) = - 2 {(- 1.1)}^{2} + 2$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 1.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 2 \cdot 1.21 + 2$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 2.42 + 2$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $- 2.42$ dan $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.42$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 0.42$ .

$- 0.42$

Langkah 5.3

Pada $- 1.1$ , turunan kedua adalah $- 0.42$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, - 1)$

Menurun pada $(- \infty, - 1)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 1, 1)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = - 2 {(0)}^{2} + 2$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = - 2 \cdot 0 + 2$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$f'' (0) = 0 + 2$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$f'' (0) = 2$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$2$

Langkah 6.3

Pada $0$ , turunan keduanya adalah $2$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- 1, 1)$ .

Meningkat pada $(- 1, 1)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(1, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (1.1) = - 2 {(1.1)}^{2} + 2$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $1.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (1.1) = - 2 \cdot 1.21 + 2$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $1.21$ .

$f'' (1.1) = - 2.42 + 2$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $- 2.42$ dan $2$ .

$f'' (1.1) = - 0.42$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 0.42$ .

$- 0.42$

Langkah 7.3

Pada $1.1$ , turunan kedua adalah $- 0.42$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(1, \infty)$

Menurun pada $(1, \infty)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 8

Titik belok adalah sebuah titik pada kurva di mana kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik-titik belok dalam kasus ini adalah $(- 1, \frac{5}{6}), (1, \frac{5}{6})$ .

$(- 1, \frac{5}{6}), (1, \frac{5}{6})$

Langkah 9