Kalkulus Contoh

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x - 1}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x - 1}$ sebagai ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ adalah $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ di mana $f (y) = 1$ dan $g (y) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Langkah 4.2.2

Kalikan eksponen dalam ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Langkah 4.2.2.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.2.3

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Kalikan ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ dengan $0$ .

$\frac{0 - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.2.4.2

Kurangi $\frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ dengan $0$ .

$\frac{- \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.2.4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{\frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{\frac{1}{3}}$ dan $g (y) = x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 1$ .

$- \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{3}$ .

$- \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 1$ .

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.7.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.8.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$- \frac{\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.8.3

Pindahkan ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.9

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.10

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (x' + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.11

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (x' + 0)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.12

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.12.1

Tambahkan $x'$ dan $0$ .

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} x'}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.12.2

Gabungkan $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ dan $x'$ .

$- \frac{\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.13

Tulis kembali $\frac{\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ sebagai hasil kali.

$- (\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Langkah 4.14

Kalikan $\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ dengan $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.15

Kalikan ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ dengan ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.15.1

Pindahkan ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{x'}{3 ({(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Langkah 4.15.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Langkah 4.15.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Langkah 4.15.4

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$1 = - \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 6

Selesaikan $x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$ .

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$

Langkah 6.2

Bagi setiap suku pada $- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Bagilah setiap suku di $- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Langkah 6.2.2.2

Bagilah $\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ dengan $1$ .

$\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{- 1}$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Bagilah $1$ dengan $- 1$ .

$\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = - 1$

Langkah 6.3

Kalikan kedua ruas dengan $3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}) = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

Langkah 6.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1

Sederhanakan $\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$3 \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

Langkah 6.4.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

Langkah 6.4.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x'}{{(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

Langkah 6.4.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x'}{{(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

Langkah 6.4.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x' = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$x' = - 3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$

Langkah 7

Ganti $x'$ dengan $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - 3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$