Kalkulus Contoh

$\int_{\sqrt{\frac{π}{2}}}^{\sqrt{π}} 9 θ^{3} \cos (θ^{2}) d θ$

Langkah 1

Karena $9$ konstan terhadap $θ$ , pindahkan $9$ keluar dari integral.

$9 \int_{\sqrt{\frac{π}{2}}}^{\sqrt{π}} θ^{3} \cos (θ^{2}) d θ$

Langkah 2

Biarkan $u = θ^{2}$ . Kemudian $d u = 2 θ d θ$ sehingga $\frac{1}{2} d u = θ d θ$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = θ^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d θ}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $θ^{2}$ .

$\frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ adalah $n θ^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 θ$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $θ$ di $u = θ^{2}$ .

$u_{lower} = {\sqrt{\frac{π}{2}}}^{2}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{π}{2}}$ sebagai $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}})}^{2}$

Langkah 2.3.2

Kalikan $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}$

Langkah 2.3.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Kalikan $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}$

Langkah 2.3.3.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}$

Langkah 2.3.3.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}$

Langkah 2.3.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}$

Langkah 2.3.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}$

Langkah 2.3.3.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

Langkah 2.3.3.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

Langkah 2.3.3.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Langkah 2.3.3.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Langkah 2.3.3.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}$

Langkah 2.3.3.6.5

Evaluasi eksponennya.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Langkah 2.3.4

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2})}^{2}$

Langkah 2.3.5

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{{\sqrt{π \cdot 2}}^{2}}{2^{2}}$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Tulis kembali ${\sqrt{π \cdot 2}}^{2}$ sebagai $π \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{π \cdot 2}$ sebagai ${(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{{({(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Langkah 2.3.6.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Langkah 2.3.6.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Langkah 2.3.6.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Langkah 2.3.6.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{1}}{2^{2}}$

Langkah 2.3.6.1.5

Sederhanakan.

$u_{lower} = \frac{π \cdot 2}{2^{2}}$

Langkah 2.3.6.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{2^{2}}$

Langkah 2.3.7

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{4}$

Langkah 2.3.8

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.1

Faktorkan $2$ dari $2 π$ .

$u_{lower} = \frac{2 (π)}{4}$

Langkah 2.3.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Langkah 2.3.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Langkah 2.3.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $θ$ di $u = θ^{2}$ .

$u_{upper} = {\sqrt{π}}^{2}$

Langkah 2.5

Tulis kembali ${\sqrt{π}}^{2}$ sebagai $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{π}$ sebagai $π^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Langkah 2.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Langkah 2.5.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Langkah 2.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Langkah 2.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = π^{1}$

Langkah 2.5.5

Sederhanakan.

$u_{upper} = π$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$9 \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $u$ .

$9 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{u}{2} \cos (u) d u$

Langkah 3.2

Gabungkan $\frac{u}{2}$ dan $\cos (u)$ .

$9 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{u \cos (u)}{2} d u$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$9 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) d u)$

Langkah 5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $9$ .

$\frac{9}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) d u$

Langkah 6

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int w d v = w v - \int v d w$ , di mana $w = u$ dan $dv = \cos (u)$ .

$\frac{9}{2} (u \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π} - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (u) d u)$

Langkah 7

Integral dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $- \cos (u)$ .

$\frac{9}{2} (u \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π} - (- \cos (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}))$

Langkah 8

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi $u \sin (u)$ pada $π$ dan pada $\frac{π}{2}$ .

$\frac{9}{2} ((π \sin (π)) - \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) - (- \cos (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}))$

Langkah 8.2

Evaluasi $- \cos (u)$ pada $π$ dan pada $\frac{π}{2}$ .

$\frac{9}{2} ((π \sin (π)) - \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) - ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{2})))$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Gabungkan $\sin (\frac{π}{2})$ dan $\frac{π}{2}$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} - ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{2})))$

Langkah 8.3.2

Untuk menuliskan $- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot \frac{2}{2})$

Langkah 8.3.3

Gabungkan $- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} + \frac{- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2})$

Langkah 8.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- \sin (\frac{π}{2}) π - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2})$

Langkah 8.3.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- \sin (\frac{π}{2}) π - 2 (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))}{2})$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- 1 \cdot 1 π - 2 (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))}{2})$

Langkah 9.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- 1 \cdot 1 π - 2 (- \cos (π) + 0)}{2})$

Langkah 9.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- π - 2 (- \cos (π) + 0)}{2})$

Langkah 9.4

Tambahkan $- \cos (π)$ dan $0$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- π - 2 (- \cos (π))}{2})$

Langkah 9.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

Langkah 9.6

Untuk menuliskan $π \sin (π)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) \cdot \frac{2}{2} + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

Langkah 9.7

Gabungkan $π \sin (π)$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} (\frac{π \sin (π) \cdot 2}{2} + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

Langkah 9.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{9}{2} \cdot \frac{π \sin (π) \cdot 2 - π + 2 \cos (π)}{2}$

Langkah 9.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π \sin (π)$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{2 \cdot (π \sin (π)) - π + 2 \cos (π)}{2}$

Langkah 9.10

Kalikan $\frac{9}{2}$ dengan $\frac{2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π)}{2}$ .

$\frac{9 (2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π))}{2 \cdot 2}$

Langkah 9.11

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{9 (2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π))}{4}$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\frac{9 (2 π \sin (0) - π + 2 \cos (π))}{4}$

Langkah 10.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{9 (2 π \cdot 0 - π + 2 \cos (π))}{4}$

Langkah 10.3

Kalikan $2 π \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Kalikan $0$ dengan $2$ .

$\frac{9 (0 π - π + 2 \cos (π))}{4}$

Langkah 10.3.2

Kalikan $0$ dengan $π$ .

$\frac{9 (0 - π + 2 \cos (π))}{4}$

Langkah 10.4

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$\frac{9 (0 - π + 2 (- \cos (0)))}{4}$

Langkah 10.5

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{9 (0 - π + 2 (- 1 \cdot 1))}{4}$

Langkah 10.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{9 (0 - π + 2 \cdot - 1)}{4}$

Langkah 10.7

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{9 (0 - π - 2)}{4}$

Langkah 10.8

Kurangi $π$ dengan $0$ .

$\frac{9 (- π - 2)}{4}$

Langkah 10.9

Terapkan sifat distributif.

$\frac{9 (- π) + 9 \cdot - 2}{4}$

Langkah 10.10

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$\frac{- 9 π + 9 \cdot - 2}{4}$

Langkah 10.11

Kalikan $9$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 9 π - 18}{4}$

Langkah 10.12

Faktorkan $- 1$ dari $- 9 π$ .

$\frac{- (9 π) - 18}{4}$

Langkah 10.13

Tulis kembali $- 18$ sebagai $- 1 (18)$ .

$\frac{- (9 π) - 1 (18)}{4}$

Langkah 10.14

Faktorkan $- 1$ dari $- (9 π) - 1 (18)$ .

$\frac{- (9 π + 18)}{4}$

Langkah 10.15

Tulis kembali $- (9 π + 18)$ sebagai $- 1 (9 π + 18)$ .

$\frac{- 1 (9 π + 18)}{4}$

Langkah 10.16

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{9 π + 18}{4}$

Langkah 11

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{9 π + 18}{4}$

Bentuk Desimal:

$- 11.56858347 \dots$