Kalkulus Contoh

$\frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 1 + e^{2 x}$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + e^{2 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 3.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 3.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{2 x + x} \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 6

Tambahkan $2 x$ dan $x$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{3 x} \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 7

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{3 x} (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 8

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - 2 e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - 2 e^{3 x} \cdot 1}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 10

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - 2 e^{3 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 e^{x} + e^{2 x} e^{x} - 2 e^{3 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 11.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$\frac{e^{x} + e^{2 x} e^{x} - 2 e^{3 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 11.2.1.2

Kalikan $e^{2 x}$ dengan $e^{x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{e^{x} + e^{2 x + x} - 2 e^{3 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 11.2.1.2.2

Tambahkan $2 x$ dan $x$ .

$\frac{e^{x} + e^{3 x} - 2 e^{3 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 11.2.2

Kurangi $2 e^{3 x}$ dengan $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{x} - e^{3 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$