Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} - \frac{2}{x^{3}}$

Langkah 1

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 2

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} - \frac{2}{x^{3}} d x$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Langkah 4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$3 \int \frac{1}{\sqrt{2 x - 6}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Langkah 5

Biarkan $u = 2 x - 6$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = 2 x - 6$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $2 x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 6]$

Langkah 5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 6$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Langkah 5.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Langkah 5.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Langkah 5.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Langkah 5.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 5.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Langkah 6.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sqrt{u}$ .

$3 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u) + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Langkah 8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $3$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Langkah 8.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Langkah 8.2.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Langkah 8.2.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Langkah 8.2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Langkah 8.2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{3}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Langkah 10

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{2}{x^{3}} d x$

Langkah 11

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

Langkah 12

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Langkah 12.2

Pindahkan $x^{3}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Langkah 12.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Langkah 12.3.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 \int x^{- 3} d x$

Langkah 13

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Gabungkan $x^{- 2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Langkah 14.1.2

Pindahkan $x^{- 2}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Langkah 14.2

Sederhanakan.

$3 u^{\frac{1}{2}} - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Langkah 14.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$3 u^{\frac{1}{2}} + 2 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Langkah 14.3.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$3 u^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{2 x^{2}} + C$

Langkah 14.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 u^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{2 x^{2}} + C$

Langkah 14.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3 u^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{2}} + C$

Langkah 15

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x - 6$ .

$3 {(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{2}} + C$

Langkah 16

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} - \frac{2}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $3 {(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{2}} + C$