Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{2} \frac{x^{2} - x - 5}{x + 2} d x$

Langkah 1

Bagilah $x^{2} - x - 5$ dengan $x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$x$

$5$

Langkah 1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x$
	$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$

Langkah 1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

Langkah 1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{2} + 2 x$

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

Langkah 1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$

Langkah 1.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$

Langkah 1.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 3 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$

Langkah 1.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$
					-	$3 x$	-	$6$

Langkah 1.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 3 x - 6$

				$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$
					+	$3 x$	+	$6$

Langkah 1.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$
					+	$3 x$	+	$6$
							+	$1$

Langkah 1.11

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int_{1}^{2} x - 3 + \frac{1}{x + 2} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - 3 d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{x + 2} d x$

Langkah 3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 3 d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{x + 2} d x$

Langkah 4

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - 3 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{1}{x + 2} d x$

Langkah 5

Biarkan $u = x + 2$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = x + 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Langkah 5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 5.1.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 5.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 5.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x + 2$ .

$u_{lower} = 1 + 2$

Langkah 5.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$u_{lower} = 3$

Langkah 5.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x + 2$ .

$u_{upper} = 2 + 2$

Langkah 5.5

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$u_{upper} = 4$

Langkah 5.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

Langkah 5.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - 3 x]_{1}^{2} + \int_{3}^{4} \frac{1}{u} d u$

Langkah 6

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - 3 x]_{1}^{2} + \ln (| u |)]_{3}^{4}$

Langkah 7

Gabungkan $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$ dan $- 3 x]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - 3 x]_{1}^{2} + \ln (| u |)]_{3}^{4}$

Langkah 8

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi $\frac{1}{2} x^{2} - 3 x$ pada $2$ dan pada $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + \ln (| u |)]_{3}^{4}$

Langkah 8.2

Evaluasi $\ln (| u |)$ pada $4$ dan pada $3$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Langkah 8.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $4$ .

$\frac{4}{2} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Langkah 8.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Langkah 8.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Langkah 8.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Langkah 8.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{1} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Langkah 8.3.3.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$2 - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Langkah 8.3.4

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$2 - 6 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Langkah 8.3.5

Kurangi $6$ dengan $2$ .

$- 4 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Langkah 8.3.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- 4 - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Langkah 8.3.7

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$- 4 - (\frac{1}{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Langkah 8.3.8

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$- 4 - (\frac{1}{2} - 3) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Langkah 8.3.9

Untuk menuliskan $- 3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- 4 - (\frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Langkah 8.3.10

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{2}{2}$ .

$- 4 - (\frac{1}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Langkah 8.3.11

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- 4 - \frac{1 - 3 \cdot 2}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Langkah 8.3.12

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.12.1

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$- 4 - \frac{1 - 6}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Langkah 8.3.12.2

Kurangi $6$ dengan $1$ .

$- 4 - \frac{- 5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Langkah 8.3.13

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- 4 - - \frac{5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Langkah 8.3.14

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- 4 + 1 (\frac{5}{2}) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Langkah 8.3.15

Kalikan $\frac{5}{2}$ dengan $1$ .

$- 4 + \frac{5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Langkah 8.3.16

Untuk menuliskan $- 4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- 4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Langkah 8.3.17

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Langkah 8.3.18

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 4 \cdot 2 + 5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Langkah 8.3.19

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.19.1

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$\frac{- 8 + 5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Langkah 8.3.19.2

Tambahkan $- 8$ dan $5$ .

$\frac{- 3}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Langkah 8.3.20

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3}{2} + \ln (| 4 |) - \ln (| 3 |)$

Langkah 9

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{3}{2} + \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $4$ adalah $4$ .

$- \frac{3}{2} + \ln (\frac{4}{| 3 |})$

Langkah 10.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $3$ adalah $3$ .

$- \frac{3}{2} + \ln (\frac{4}{3})$

Langkah 11

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{3}{2} + \ln (\frac{4}{3})$

Bentuk Desimal:

$- 1.21231792 \dots$

Langkah 12