Kalkulus Contoh

${(2 + e^{3 x})}^{2}$

Langkah 1

Tulis ${(2 + e^{3 x})}^{2}$ sebagai fungsi.

$f (x) = {(2 + e^{3 x})}^{2}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int {(2 + e^{3 x})}^{2} d x$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali ${(2 + e^{3 x})}^{2}$ sebagai $(2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x})$ .

$\int (2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x}) d x$

Langkah 4.2

Perluas $(2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x})$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\int 2 (2 + e^{3 x}) + e^{3 x} (2 + e^{3 x}) d x$

Langkah 4.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\int 2 \cdot 2 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} (2 + e^{3 x}) d x$

Langkah 4.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\int 2 \cdot 2 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} \cdot 2 + e^{3 x} e^{3 x} d x$

Langkah 4.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\int 4 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} \cdot 2 + e^{3 x} e^{3 x} d x$

Langkah 4.3.1.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{3 x}$ .

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 \cdot e^{3 x} + e^{3 x} e^{3 x} d x$

Langkah 4.3.1.3

Kalikan $e^{3 x}$ dengan $e^{3 x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.3.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 e^{3 x} + e^{3 x + 3 x} d x$

Langkah 4.3.1.3.2

Tambahkan $3 x$ dan $3 x$ .

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 e^{3 x} + e^{6 x} d x$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $2 e^{3 x}$ dan $2 e^{3 x}$ .

$\int 4 + 4 e^{3 x} + e^{6 x} d x$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 4 d x + \int 4 e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

Langkah 6

Terapkan aturan konstanta.

$4 x + C + \int 4 e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

Langkah 7

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$4 x + C + 4 \int e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

Langkah 8

Biarkan $u_{1} = 3 x$ . Kemudian $d u_{1} = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u_{1} = 3 x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 8.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 8.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$4 x + C + 4 \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

Langkah 9

Gabungkan $e^{u_{1}}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$4 x + C + 4 \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$4 x + C + 4 (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{6 x} d x$

Langkah 11

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $4$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

Langkah 12

Integral dari $e^{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $e^{u_{1}}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{6 x} d x$

Langkah 13

Biarkan $u_{2} = 6 x$ . Kemudian $d u_{2} = 6 d x$ sehingga $\frac{1}{6} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Biarkan $u_{2} = 6 x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Diferensialkan $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Langkah 13.1.2

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 13.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Langkah 13.1.4

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$6$

Langkah 13.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{6} d u_{2}$

Langkah 14

Gabungkan $e^{u_{2}}$ dan $\frac{1}{6}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int \frac{e^{u_{2}}}{6} d u_{2}$

Langkah 15

Karena $\frac{1}{6}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{6}$ keluar dari integral.

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{6} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 16

Integral dari $e^{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $e^{u_{2}}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{6} (e^{u_{2}} + C)$

Langkah 17

Sederhanakan.

$4 x + \frac{4}{3} e^{u_{1}} + \frac{1}{6} e^{u_{2}} + C$

Langkah 18

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $3 x$ .

$4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{u_{2}} + C$

Langkah 18.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $6 x$ .

$4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$

Langkah 19

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = {(2 + e^{3 x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$