Kalkulus Contoh

$\int \frac{x^{4} - 2 x^{3} - 12 x^{2} + 9 x - 16}{x + 3} d x$

Langkah 1

Bagilah $x^{4} - 2 x^{3} - 12 x^{2} + 9 x - 16$ dengan $x + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

Langkah 1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{4}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

Langkah 1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Langkah 1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{4} + 3 x^{3}$

				$x^{3}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$9 x$	-	$16$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$

Langkah 1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{3}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$9 x$	-	$16$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					-	$5 x^{3}$

Langkah 1.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{3}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$9 x$	-	$16$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					-	$5 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Langkah 1.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 5 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$9 x$	-	$16$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					-	$5 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Langkah 1.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$9 x$	-	$16$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					-	$5 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$

Langkah 1.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 5 x^{3} - 15 x^{2}$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

Langkah 1.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

Langkah 1.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$9 x$

Langkah 1.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $3 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$9 x$

Langkah 1.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

Langkah 1.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $3 x^{2} + 9 x$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

Langkah 1.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

$0$

Langkah 1.16

Mengeluarkan suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

$0$

$16$

Langkah 1.17

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int x^{3} - 5 x^{2} + 3 x - \frac{16}{x + 3} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int x^{3} d x + \int - 5 x^{2} d x + \int 3 x d x + \int - \frac{16}{x + 3} d x$

Langkah 3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - 5 x^{2} d x + \int 3 x d x + \int - \frac{16}{x + 3} d x$

Langkah 4

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 5$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 \int x^{2} d x + \int 3 x d x + \int - \frac{16}{x + 3} d x$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 3 x d x + \int - \frac{16}{x + 3} d x$

Langkah 6

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 \int x d x + \int - \frac{16}{x + 3} d x$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \frac{16}{x + 3} d x$

Langkah 8

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int \frac{16}{x + 3} d x$

Langkah 9

Karena $16$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $16$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (16 \int \frac{1}{x + 3} d x)$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (16 \int \frac{1}{x + 3} d x)$

Langkah 10.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) - (16 \int \frac{1}{x + 3} d x)$

Langkah 11

Biarkan $u = x + 3$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Biarkan $u = x + 3$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Diferensialkan $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Langkah 11.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 11.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 11.1.4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 11.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 11.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) - (16 \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 12

Kalikan $16$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 16 \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 13

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 16 (\ln (| u |) + C)$

Langkah 14

Sederhanakan.

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{5 x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} - 16 \ln (| u |) + C$

Langkah 15

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 3$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{5 x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} - 16 \ln (| x + 3 |) + C$

Langkah 16

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{5}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 16 \ln (| x + 3 |) + C$