Kalkulus Contoh

${(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$

Langkah 1

Tulis ${(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$ sebagai fungsi.

$f (x) = {(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int {(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2} d x$

Langkah 4

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{x^{2} + 1}{x}$ .

$\int \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Langkah 5

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 6

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} x^{- 2} d x$

Langkah 7

Perluas ${(x^{2} + 1)}^{2} x^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tulis kembali ${(x^{2} + 1)}^{2}$ sebagai $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\int (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) x^{- 2} d x$

Langkah 7.2

Terapkan sifat distributif.

$\int (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x^{- 2} d x$

Langkah 7.3

Terapkan sifat distributif.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x^{- 2} d x$

Langkah 7.4

Terapkan sifat distributif.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x^{- 2} d x$

Langkah 7.5

Terapkan sifat distributif.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1) x^{- 2} + (1 x^{2} + 1 \cdot 1) x^{- 2} d x$

Langkah 7.6

Terapkan sifat distributif.

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot 1 x^{- 2} + (1 x^{2} + 1 \cdot 1) x^{- 2} d x$

Langkah 7.7

Terapkan sifat distributif.

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot 1 x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Langkah 7.8

Susun kembali $x^{2}$ dan $1$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Langkah 7.9

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int x^{2 + 2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Langkah 7.10

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\int x^{4} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Langkah 7.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int x^{4 - 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Langkah 7.12

Kurangi $2$ dengan $4$ .

$\int x^{2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Langkah 7.13

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$\int x^{2} + x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Langkah 7.14

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int x^{2} + x^{2 - 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Langkah 7.15

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$\int x^{2} + x^{0} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Langkah 7.16

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Langkah 7.17

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$\int x^{2} + 1 + x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Langkah 7.18

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int x^{2} + 1 + x^{2 - 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Langkah 7.19

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$\int x^{2} + 1 + x^{0} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Langkah 7.20

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Langkah 7.21

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + 1 x^{- 2} d x$

Langkah 7.22

Kalikan $x^{- 2}$ dengan $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + x^{- 2} d x$

Langkah 7.23

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int x^{2} + 2 + x^{- 2} d x$

Langkah 7.24

Susun kembali $2$ dan $x^{- 2}$ .

$\int x^{2} + x^{- 2} + 2 d x$

Langkah 8

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int x^{2} d x + \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C + \int 2 d x$

Langkah 11

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C + 2 x + C$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan.

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

Langkah 12.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

Langkah 13

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = {(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$