Kalkulus Contoh

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$

Langkah 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $- \frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{1}{3} x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$- \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- 3 (\frac{1}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.4

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.5

Gabungkan $\frac{- 3}{3}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $- 3$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.6.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.6.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.6.2.4

Bagilah $- x^{2}$ dengan $1$ .

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- x^{2} - 9 (2 x)$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 9$ .

$f' (x) = - x^{2} - 18 x$

Langkah 1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- x^{2} - 18 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $- 18$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 18 x$ terhadap $x$ adalah $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x - 18 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 x - 18 \cdot 1$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan $- 18$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 2 x - 18$

Langkah 1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 x - 18$ .

$- 2 x - 18$

Langkah 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 2 x - 18 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- 2 x - 18 = 0$

Langkah 2.2

Tambahkan $18$ ke kedua sisi persamaan.

$- 2 x = 18$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $- 2 x = 18$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $- 2 x = 18$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{18}{- 2}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{18}{- 2}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{18}{- 2}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Bagilah $18$ dengan $- 2$ .

$x = - 9$

Langkah 3

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $- 9$ dalam $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 9$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 9) = - \frac{1}{3} \cdot {(- 9)}^{3} - 9 {(- 9)}^{2}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Naikkan $- 9$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- 9) = - \frac{1}{3} \cdot - 729 - 9 {(- 9)}^{2}$

Langkah 3.1.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot - 729 - 9 {(- 9)}^{2}$

Langkah 3.1.2.1.2.2

Faktorkan $3$ dari $- 729$ .

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 243)) - 9 {(- 9)}^{2}$

Langkah 3.1.2.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 243) - 9 {(- 9)}^{2}$

Langkah 3.1.2.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- 9) = - 1 \cdot - 243 - 9 {(- 9)}^{2}$

Langkah 3.1.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 243$ .

$f (- 9) = 243 - 9 {(- 9)}^{2}$

Langkah 3.1.2.1.4

Kalikan $- 9$ dengan ${(- 9)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.4.1

Kalikan $- 9$ dengan ${(- 9)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.4.1.1

Naikkan $- 9$ menjadi pangkat $1$ .

$f (- 9) = 243 + (- 9) {(- 9)}^{2}$

Langkah 3.1.2.1.4.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f (- 9) = 243 + {(- 9)}^{1 + 2}$

Langkah 3.1.2.1.4.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f (- 9) = 243 + {(- 9)}^{3}$

Langkah 3.1.2.1.5

Naikkan $- 9$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- 9) = 243 - 729$

Langkah 3.1.2.2

Kurangi $729$ dengan $243$ .

$f (- 9) = - 486$

Langkah 3.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 486$ .

$- 486$

Langkah 3.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $- 9$ dalam $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ adalah $(- 9, - 486)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(- 9, - 486)$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 9)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 9.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 9.1) = - 2 \cdot - 9.1 - 18$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $- 9.1$ .

$f'' (- 9.1) = 18.2 - 18$

Langkah 5.2.2

Kurangi $18$ dengan $18.2$ .

$f'' (- 9.1) = 0.2$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0.2$ .

$0.2$

Langkah 5.3

Pada $- 9.1$ , turunan keduanya adalah $0.2$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \infty, - 9)$ .

Meningkat pada $(- \infty, - 9)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 9, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 8.9$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 8.9) = - 2 \cdot - 8.9 - 18$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $- 8.9$ .

$f'' (- 8.9) = 17.8 - 18$

Langkah 6.2.2

Kurangi $18$ dengan $17.8$ .

$f'' (- 8.9) = - 0.2$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 0.2$ .

$- 0.2$

Langkah 6.3

Pada $- 8.9$ , turunan kedua adalah $- 0.2$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- 9, \infty)$

Menurun pada $(- 9, \infty)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah $(- 9, - 486)$ .

$(- 9, - 486)$

Langkah 8