Kalkulus Contoh

$y = x^{5} \sin (x)$

Langkah 1

Biarkan $y = f (x)$ , ambil logaritma alami dari kedua ruas $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{5} \sin (x))$

Langkah 2

Perluas sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali $\ln (x^{5} \sin (x))$ sebagai $\ln (x^{5}) + \ln (\sin (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{5}) + \ln (\sin (x))$

Langkah 2.2

Perluas $\ln (x^{5})$ dengan memindahkan $5$ ke luar logaritma.

$\ln (y) = 5 \ln (x) + \ln (\sin (x))$

Langkah 3

Diferensialkan persamaan menggunakan kaidah rantai, dengan menganggap $y$ adalah fungsi dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan ruas bagian kiri $\ln (y)$ menggunakan kaidah rantai.

$\frac{y'}{y} = 5 \ln (x) + \ln (\sin (x))$

Langkah 3.2

Diferensialkan ruas bagian kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan $5 \ln (x) + \ln (\sin (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [5 \ln (x) + \ln (\sin (x))]$

Langkah 3.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 \ln (x) + \ln (\sin (x))$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [5 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Langkah 3.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{y'}{y} = 5 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Langkah 3.2.3.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 5 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Langkah 3.2.3.3

Gabungkan $5$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Langkah 3.2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 3.2.4.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 3.2.4.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 3.2.4.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \frac{1}{\sin (x)} \cos (x)$

Langkah 3.2.4.3

Konversikan dari $\frac{1}{\sin (x)}$ ke $\csc (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \csc (x) \cos (x)$

Langkah 3.2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \csc (x) + \frac{5}{x}$

Langkah 3.2.5.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1

Tulis kembali $\csc (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \frac{5}{x}$

Langkah 3.2.5.2.2

Gabungkan $\cos (x)$ dan $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{5}{x}$

Langkah 3.2.5.3

Konversikan dari $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ ke $\cot (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cot (x) + \frac{5}{x}$

Langkah 4

Isolasikan $y'$ dan substitusikan fungsi asli untuk $y$ di sisi kanan.

$y' = (\cot (x) + \frac{5}{x}) (x^{5} \sin (x))$

Langkah 5

Sederhanakan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali $\cot (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$y' = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{5}{x}) (x^{5} \sin (x))$

Langkah 5.2

Terapkan sifat distributif.

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (x^{5} \sin (x)) + \frac{5}{x} (x^{5} \sin (x))$

Langkah 5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $\sin (x)$ dari $x^{5} \sin (x)$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) x^{5}) + \frac{5}{x} (x^{5} \sin (x))$

Langkah 5.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) x^{5}) + \frac{5}{x} (x^{5} \sin (x))$

Langkah 5.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \cos (x) x^{5} + \frac{5}{x} (x^{5} \sin (x))$

Langkah 5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $x$ dari $x^{5} \sin (x)$ .

$y' = \cos (x) x^{5} + \frac{5}{x} (x (x^{4} \sin (x)))$

Langkah 5.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \cos (x) x^{5} + \frac{5}{x} (x (x^{4} \sin (x)))$

Langkah 5.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \cos (x) x^{5} + 5 (x^{4} \sin (x))$

Langkah 5.5

Susun kembali faktor-faktor dalam $\cos (x) x^{5} + 5 x^{4} \sin (x)$ .

$y' = x^{5} \cos (x) + 5 x^{4} \sin (x)$